河北省邯郸市第二十三中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省邯郸市第二十三中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共23页。
卷I（选择题，共38分）
注意事项：1．答卷I前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．
一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1∼6小题各3分，7∼16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
C. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下，顶点坐标B. 开口向上，顶点坐标
C. 开口向下，顶点坐标D. 开口向上，顶点坐标
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标进行选择即可．
【详解】∵抛物线中，a＜0，
∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标是解题的关键．
3. 用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【详解】解：，
，
则，，，
故选：C
4. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A. y＝2（x+3）2+4B. y＝2（x+3）2﹣4C. y＝2（x﹣3）2﹣4D. y＝2（x﹣3）2+4
【答案】A
【解析】
【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．
故选A．
5. 把方程化成的形式，则（ ）
A. 17B. 14C. 11D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案．
【详解】
，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6. 若点，，在抛物线上，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
7. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为轴，
关于轴对称的点为，
该图象必过点，
故选：B．
8. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查数形结合思想，涉及抛物线和直线交点，根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
∴方程的解即为抛物线和直线的交点，
∴解为，，
故选：B．
9. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
∴，
则，
故选：．
10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法错误的是（ ）
A.
B. 函数的最小值是
C. 当时，随的增大而增大
D. 和3是方程的两个根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质．根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为直线以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：观察二次函数图象，发现：
开口向上，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为；
A、∵二次函数的图象与轴的交点在原点下方，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值是，故本选项不符合题意；
C、∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减少，故本选项符合题意；
D、∵二次函数的图象与轴的交点为和，
∴和3是方程的两个根，故本选项不符合题意；
故选：C．
11. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多尺寸，它的对角线长丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为尺，则依题意所列方程为丈尺，尺寸（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：矩形的门的高比宽多尺寸，且门宽为尺，
门高为尺，
根据题意得：．
故选：A．
12. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ）
A. 对称轴是直线B. 当时，
C. 当时，随的增大而减小D. 抛物线开口向下
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意；
B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意；
C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意；
D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意；
故选：B．
13. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，数轴，根据数轴可知，，计算一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：根据数轴可得，，则，
∵中，，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
14. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A. 2B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解．
【详解】解：如图2，
先构造一个面积为x2正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：
39+（）2×4＝39+25＝64，
∴该方程的正数解为
﹣×2＝3．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程﹒
15. 如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意应分两种情况讨论：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，再分别根据相应图形的面积公式确定关系式，进而可得答案．
【详解】解：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，阴影部分的面积为：y＝x2，
它的图象是一条开口向上、对称轴为y轴的抛物线段；
当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，面积为：y＝2﹣（x﹣2）2，
它的图象是一条开口向下、对称轴为直线x=2的抛物线段．
纵观各选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与图形运动问题，解决本题的关键是确定每种情况阴影部分与x的关系式，然后根据函数的性质确定选项．
16. 已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为．可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于与．故自变量的取值范围为．所以可以取得整数，1，2共3个．由于与关于对称轴直线对称，所以与对应一条平行于轴的直线，，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有2个．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，解得．
又抛物线与轴的一个交点为，
把代入得，，
解得：．
．
对称轴，最大值．
如图所示，
顶点坐标为，
令，
即，
解得或．
当时，抛物线始终与轴交于与，
．
即常函数直线，由，
，
由图象得当时，，其中为整数时，，1，2．
一元二次方程的整数解有3个．
又与关于直线轴对称，
当时，直线恰好过抛物线顶点，
所以值可以有2个．
故选：B．
卷II（非选择题，共82分）
注意事项：答卷II时，将答案用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔直接写在答题卡上
二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17∼19小题每空2分．把答案写在题中横线上）
17. 一元二次方程的根是______________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法．方程两边开方，再解两个一次方程即可．
【详解】解：，
∴，
解得：，，
故答案为：，．
18. 已知抛物线．
（1）若抛物线经过原点，则的值为__________．
（2）若抛物线关于轴对称，则抛物线与轴的交点坐标为__________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图形和性质，求抛物线与y轴交点，掌握二次函数的图形和性质是解题的关键．
（1）把原点坐标代入抛物线解析式中即可求解；
（2）根据抛物线关于轴对称，则得，从而得抛物线解析式，令即可求得抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴当时，，
∴；
故答案为：3．
（2）∵抛物线关于轴对称，
∴，
∴抛物线解析式为，
令，即，
则抛物线与轴的交点坐标为；
故答案为：．
19. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）____________________；
（2）我们把抛物线在直线的上方的部分与线段BC围成的封闭区域记为“G区域”（包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．则“G区域”的整点的个数为__________．
【答案】 ①. 9 ②. 8
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质；
（1）求出直线与轴、轴的两个交点、的坐标，由于抛物线过点B，把点B的坐标代入抛物线解析式中即可求解；
（2）把点C的坐标代入抛物线解析式中，求得n的值，再代入所求中，求得m的值，从而得到抛物线解析式，分别求得当时，一次函数与二次函数的函数值，即可确定整数y的值，从而确定整点个数；最后可确定所有整点数．
【详解】解：（1）令，得；令，得；
则点、点；
∵抛物线过点B，
∴，
即；
故答案为：9．
（2）把代入抛物线解析式中，
得；
由，即，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，一次函数，二次函数，
“G区域”整点为；
当时，一次函数，二次函数，
“G区域”的整点为；
而点B、C也是“G区域”的整点，其有8个整点；
∴“G区域”的整点个数为8个．
三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得．…第一步
移项，合并同类项，得．…第二步
系数化为1，得．…第三步
任务：
（1）小明的解法从第_________步开始出现错误；
（2）此题的正确结果是__________________．
（3）解方程：．
【答案】（1）一 （2），，
（3），．
【解析】
【分析】①先移项得，故第一步是错误的，即可解答；
②利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
③利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
【小问1详解】
解：小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：，
，
，
或，
，．
21. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）方程的两个根为______，______；
（2）当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______；
（3）若方程有实数根，取值范围是______．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据函数图象即可得出答案；
（2）根据函数图象结合当时，即可得出答案；
（3）根据函数图象即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图象可得：方程的两个根为，；
【小问2详解】
解：由图象可得：当时，则的取值范围为，
∵，
∴当时，，
∴当时，自变量的取值范；
【小问3详解】
解：若方程有实数根，取值范围是．
22. 已知：是关于的方程的两个实数根．
（1）求证：无论取何值方程总有两个实数根；
（2）当时，为何值？求出这时方程的解？
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．
（1）根据一元二次方程根的判别式可得出，结合的情况可证出方程有实数根；
（2）当时，则关于的方程的两个相等实数根，则，求出m的值，得到方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：∵关于x的方程．
∴，
∴无论m取何值，该方程都有实数根；
【小问2详解】
解：是关于的方程的两个实数根，且，
，
，
原方程为：，即，
．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C0,−3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求的面积．
（3）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）6 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B坐标，再根据进行求解即可；
（3）由轴对称的性质得到，则，故当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，求出直线解析式为，再求出抛物线对称轴为直线，在中，当时，，即．
【小问1详解】
解：把，C0,−3代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，解得或，
∴，
∵，C0,−3，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
∵点P是抛物线对称轴上一点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴．
24. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米

（1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含的代数式表示）
（2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【答案】（1）米
（2）1米
【解析】
【分析】（1）用木板总长度加2米减去与院墙垂直的两边长即可；
（2）先求出院墙平行的边长，再根据空白面积为54平方米列出方程，求解后进行选择即可．
【小问1详解】
由题意得：
即车棚与墙平行的一面长米；
【小问2详解】
当时，
设小路的宽为x米，根据题意得：
，
整理得，
解得：，（舍去），
答：小路的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，B4,0，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．

（1）求二次函数的表达式及点的坐标．
（2）求直线的表达式．
（3）为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为，；
（2）；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由得为直角三角形，则点是的中点，求出点，即可求解；
（3）当点在直线下方的抛物线上时，则，则点与关于对称轴对称，当点在直线的上方时，设交轴于，则，设，则，在中，由勾股定理得方程，可求出点的坐标，从而求出直线的解析式，与抛物线求交点即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；
【小问2详解】
解：由点、、的坐标得，，，，
则，
即为直角三角形，
由将沿着翻折，使点落在点处知，点是的中点，
由中点坐标公式得，点，
由、的坐标得，直线的表达式为：；
【小问3详解】
解：当点在直线下方的抛物线上时，则，

点与关于对称轴直线对称，
，
当点在直线的上方时，

设交轴于，
则，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
直线的解析式为，
，
解得，（舍），
，
综上：点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程的解法等知识，分点在直线的上方和下方两种情形是解题的关键．
26. 如图，抛物线（，为常数）经过点A−4,0和点，已知点，，线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标．
（2）判断抛物线是否经过点M，并说明理由．
（3）若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒．
①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值．
②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解析式为；对称轴为直线；顶点坐标为
（2）抛物线不过点M；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）把点M坐标代入所求解析式中，即可验证；
（3）①当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小；设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接；易得点E的坐标，由勾股定理即可求得，从而求得最短时间；
②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为；台阶向下平移时，抛物线最先经过点M，即点M与重合，从而求得此时t的值最小；抛物线经过点F时，此时t的值最大；分别求出t的最小与最大值，即可求得t的范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点A−4,0和点，
∴，
解得：，
∴；
∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为；
【小问2详解】
解：抛物线不过点M；
理由：当时，，
∴抛物线不过点M；
【小问3详解】
解：①如图，当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小；
设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接；
∵，
∴，
∴t的最小值为．
②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为，
而，
∴台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，抛物线最先经过点M，即M点与重合，此时运动时间最短；抛物线最后经过点F，此时运动时间最长；
由题意知，点F的坐标为；
∴当台阶竖直向下平移t秒时，点F的坐标为；
抛物线经过点M时，此时台阶向下平移了2个单位长度，即，
解得：；
把F点代入中，得，
解得：；
∴台阶从初始位置竖直向下平移过程中，当台阶与抛物线有公共点时，t的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，图形的平移等知识；熟练掌握这些知识是解题的关键．