河北省邯郸市丛台区邯郸市第二十五中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷. （解析版）-A4

这是一份河北省邯郸市丛台区邯郸市第二十五中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷. （解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：一元二次方程及二次函数；考试时间：120分钟；分值：120
一、选择题（1－12题，每题3分，共36分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可．
【详解】解：A，，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
B，是一元二次方程，符合题意；
C，，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
D，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
故选B．
2. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标，
故选：A．
3. 将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．
【详解】，
故选：D．
4. 已知是方程的一个实数根，那么m的值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：，
故选：．
5. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ）
A 3B. 4C. D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为和，
，
故选：B．
6. 把抛物线通过平移得到，则平移的方向和距离是（ ）
A. 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
C. 向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
D. 向右平移2个单位长度，再向上平移9个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先化为顶点式，然后根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：通过平移得到，
∴平移方式为向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
故选：B．
7. 随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找到等量关系并列出方程是解决本题的关键．若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，根据题意列方程即可．
【详解】解：若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张，
则可列方程为：．
故选：A．
8. 设方程的一个正实数根为a，则的值是（ ）
A. B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，将代入方程得出，再代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵方程的一个正实数根为a，
∴
∴，
故选：B．
9. 若点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小．先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离为：，
点到对称轴的距离为：，
点到对称轴距离为：，
∵，
∴函数开口向上，离对称轴越远，函数值越大
∵，
∴．
故选：C．
10. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键
先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵二次函数
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
．
故选：．
11. 若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，随的增大而减小，推出，可知二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上，由此即可判断．
【详解】解：，随的增大而减小，
，
二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上，
故选：A．
【点睛】本题参考二次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正比例函数以及二次函数的性质，属于中考常考题型．
12. 2024年9月16日，邯郸市半程马拉松鸣枪开跑，嘉琪和她的朋友李明参加了本次马拉松赛事．在比赛过程中，他们之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口向运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ）
A. B. C. D. 不会再取得联系
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程；设秒后他们再次取得联系，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设秒后他们再次取得联系，依题意得，米，再次取得联系时他们相距米，
，
解得：（舍去）
答：秒后他们再次取得联系，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 一元二次方程 的根是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．
【详解】解：
，，
故答案为：，．
14. 若关于的二次函数的图像开口向上，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握开口方向与二次项系数a的关系是解题的关键．根据开口方向可得，再求解即可．
【详解】解：关于的二次函数的图像开口向上，
，
，
故答案为：．
15. 已知二次函数，当时，的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键是根据图像的性质判断取值．根据二次函数顶点式图像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小．据此即可获得答案．
【详解】解：二次函数，
对称轴为直线，
，
函数图像开口向下，
离对称轴越远，取值越小，
，
当时，取最小值，最小值为．
故答案为：．
16. 已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
若，则当时，y最大，即，解得（舍去），；
若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）；
若，则最大值为0，与题意不符；
由上可得，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
三、解答题
17. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）先移项，再根据因式分解法可得，进而即可求解．
【小问1详解】
解：
∴，
解得：
【小问2详解】
解：
∴
∴
解得：
18. 已知二次函数．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的值．
【答案】（1），，，
（2）77 （3）或
【解析】
【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断；
（2）把代入解析式进行计算即可得解；
（3）当代入解析式进行计算即可得解．
【小问1详解】
解：二次函数化为一般形式，
其中，，；
【小问2详解】
解：当时，；
【小问3详解】
解：当时，即，
解得或．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义．
19. 如图，抛物线与轴的交点为（点在点的左边），且点的坐标为与轴交于点，该抛物线的顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接求的面积．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与面积问题；
（1）将点代入计算即可；
（2）先求出、坐标，再求面积即可．
【小问1详解】
将点代入
得，
，
．
【小问2详解】
将配方，得
点的坐标为
抛物线的对称轴为
点的坐标为
．
20. 关于的一元二次方程．
（1）当时，求方程的根．
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（3）若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值．
【答案】（1）
（2）见详解 （3），另一个根为1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握判别式的意义是解题关键．
（1）将代入原方程，进而根据公式法解方程，即可求解．
（2）先求出根的判别式大于0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（3）将代入求出k，得到原方程，再解方程即可．
【小问1详解】
当时，原方程为
∵，，
∴，
解得：；
【小问2详解】
证明：由已知，
，
，
，
∴无论取何值方程总有两个不相等的实数根．
【小问3详解】
解：依题意得，，
解得，
则原方程为，
解得，
∴另一根为．
21. 如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．

（1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
（2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【答案】（1）鸡场的长为15米，宽为10米
（2）不能
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
（1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（舍去），
则养鸡场的宽是，长为．
小问2详解】
解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
整理得：，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米．
22. 【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 设计方案
（2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？
【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征
（1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式；
（2）把代入解析式求出的值，即可求解．
【详解】（1）设，过点
∴代入，解得，
∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为；
（2）当时，
解得：
∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为，
∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）存在，点P的坐标为或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合：
（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先求出点A坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可；
（3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．
【小问1详解】
解：把点，点的坐标代入中得，
解得，
二次函数得表达式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，或，
∴,
又∵，
∴，
∵的面积等于10，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，此时，方程无解，不符合题意；
在中，当时，解得或，
∴点P的坐标为或，
∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
24. 如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为．
（1）______，______，（用含的代数式表示）；
（2）为多少时，四边形的面积为；
（3）为多少时，点和点的距离为．
（4）P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形．
【答案】（1）；
（2）5 （3）t为或
（4）或2或或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程；
（1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
（4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：当运动时间为时，，，
故答案为：；．
【小问2详解】
依题意得：，解得：．
答：当t为5时，四边形的面积为．
【小问3详解】
过点Q作于点E，如图所示．
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，即，
解得，
答：当t为或时，点P和点Q的距离为．
【小问4详解】
解：当时，过P作，
四边形是矩形，
，
，
，，
四边形矩形，
，
，
解得：；
当时，过Q作于E，
同理可证：四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，即，
解得：或，
当时，
在中，，
，
解得：或（舍去），
综上所述，或2或或．