四川省眉山市青神县共同体2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省眉山市青神县共同体2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了 下列运算结果正确的是， 要使有意义，则x的值可以是， 若，则=等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共12小题）
1. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的性质及二次根式乘除法则计算即可得到答案．
【详解】解∶． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
2. 要使有意义，则x的值可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，二次根式的被开方数非负，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴
∴x的值可以是3，
故选：D．
3. 若，则=（ ）
A. －15B. －9C. 9D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
，
当时，，
．
故选：D
4. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含x的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可．
【详解】解：设停车场内车道的宽度为，
将两个停车位合在一起，则长为，宽为，
因此，
故选B．
5. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况．因为一元二次方程有两个实数根，所以且，据此列式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
即且，
∴且．
故选：C．
6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据可得相似比为，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解．
【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，，
∴，且，
∴，
∴，
故选：A．
7. 点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．
根据黄金分割的定义，得到，由此计算得到答案．
【详解】如图，
点，点是线段的黄金分割点，若，
，
，
，
故选：．
8. 如图，在中，，CD是高，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了含度角直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，熟记相关结论即可求解；
【详解】解：∵CD是AB边上高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
9. 如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，则的的值为（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查的是相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
如图，过点作交于点．得出利用相似三角形性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于点．

∵，点是的中点，
∴
则，
∴，
故答案为：C．
10. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，，，
则由勾股定理得：，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故选：．
11. 对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A. 只有①②④B. 只有①②③C. 只有②③④D. 只有①②
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键．
根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可．
【详解】解：①若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，即有两种可能性，
故③错误；
④若是一元二次方程的根，
∴根据求根公式得：或，
∴或，
∴，
故④正确．
故选：A．
12. 如图，正方形边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③④C. ①③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】证明，可判定①正确；
连接交于点O,Q，点M，点G关于直线对称，故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,故的最小值是，故②错误；先证明，得，可证，故③ 正确；根据，故④正确．本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
故①正确；
连接交于点O,Q，
∵正方形，且,
∴，
∵垂直平分，
∴点M，点G关于直线对称，
故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,
故的最小值是，
故②错误；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③ 正确；
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故④正确．
故选D．
二．填空题（共6小题）
13. 用配方法解方程时，配方后方程变形为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可．
【详解】解：
移项得：，
∴，
配方得：，即．
故答案为．
14. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，根据定义建立方程求解即可．
【详解】解： 最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：2．
15. 已知、是方程的两根，则的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数的关系得，，然后根据完全平方公式把变形代入计算即可．
【详解】解：根据题意得，，
，
故答案为：10．
16. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可．
【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G，
∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置，
∴，，
∴△AEG∽△DEF，
，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平移的性质，也考查了相似三角形面积与比相似比间的关系，将题中给出的面积比转化为相似比是解题的关键．
17. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，先利用勾股定理求出、、的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后根据即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理，含乘方的有理数混合运算，勾股定理的逆定理，求角的正切值，二次根式的除法，求一个数的算术平方根等知识点，连接并利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形是解题的关键．
18. 如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质分别求出的边长即可解决问题．
【详解】∵等边的边长为1，作于点D，
∴，
∴的长分别为，
，
等边的顶点的横坐标＝，
等边的边的中点的横坐标为，
其纵坐标为，
∴的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是发现点的横坐标变化规律．
三．解答题（共7小题）
19. 解方程或计算：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
【答案】（1），．
（2），．
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可；
（2）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可；
（3）先化简二次根式，化简绝对值，再合并即可；
（4）先计算零次幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，，
解得：，．
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：，．
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的加减乘法运算，零次幂，负整数指数幂的含义，特殊角的三角函数值，掌握基础运算的运算法则与运算顺序及解方程的方法是关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
∵，
代入得：原式；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为1,0．

（1）将向左平移5个单位长度，得到，画出；
（2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出；
（3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（3）根据点的位置，写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【小问3详解】
解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为，

故答案为：．
22. 关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
（2）若方程两实根 满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值．
【小问1详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
则当时，方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵方程两实根 ，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里．
（1）求A、C两处距离；
（2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号）
【答案】（1）、两处的距离为20海里；
（2）救援船到达处所用的时间为小时．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（2）过点作于点，由锐角三角函数定义得海里，海里，则海里，再由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图1，过作于点，
由题意得：海里，，，
（海里），是等腰直角三角形，
（海里），
答：、两处的距离为20海里；
【小问2详解】
解：如图2，过点作于点，
在中，海里，，
（海里），
（海里），
（海里），
在中，由勾股定理得：（海里），
（小时），
答：救援船到达处所用的时间为小时．
24. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
（1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）
（2）20元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
（1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可；
（2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设售价降低y元，
，
解得：，
当时，，
当时，，
∵，
∴为了尽量减少库存，售价应降低20元．
25. 如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
（3）几秒钟后，与相似？
【答案】（1）1秒 （2）2秒
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解；
（2）由勾股定理得：，即可求解；
（3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设经过秒以后，面积为（）
此时，，，
由，得，
整理得：，
解得：，（舍）．
【小问2详解】
解：设经过秒后，的长度等于，
由，得，
解得：（舍去），．
答：2秒后，的长度为．
【小问3详解】
解：当时，
即，解得
当时，
，
即，
解得，
或．
26. 探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形得，，，再根据等腰直角三角形的性质得，，由此可证，再根据即可得出结论；
（2）设，则， ， ，根据（1）的结论得，则，故得，则点F为的中点，再根据，得，则由此可得的值；
（3）过点D作交延长线于点K，则，进而得，再求出，证明，根据相似三角形性质得则，然后证明即可求出的值．
【小问1详解】
证明：∵四边形为正方形，为对角线，
，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F为的中点，
∴，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过点D作交延长线于点K，则，
∵四边形为菱形，，
∴，
设，
∴，
在中，则，由勾股定理得：，
∵点F是中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．