2024-2025学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（三）（A卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（三）（A卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={x|y= −x2+2x+3}，集合B={y|y=ex}，则A∪B=( )
A. (0,1]B. (0,3]C. [−1,+∞)D. [−3,+∞)
2.“tanx=tany”是“x=y+2kπ(k∈Z)”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知a，b为单位向量，且a⋅b=0，若c=3a− 6b，则cs=( )
A. 55B. 105C. 155D. 2 55
4.从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设.根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少14，本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过______年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入.( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
5.设函数f(x)=x+1,x≤0 x−1,x>0，则方程f(f(x))=0的实根个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2=π3，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 5C. 6D. 7
7.在某次乓乒球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.设函数f(x)=1x，g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)若y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则下列判断正确的是( )
A. 当a0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z=1+1− 3i 3+i，其共轭复数为z−，则下列叙述正确的是( )
A. z−对应的点在复平面的第四象限B. z2−是一个纯虚数
C. z⋅z−=2D. z−z=i
10.已知函数f(x)=x2+2ax,x0)的离心率为 3，直线l：y=x−1与双曲线C交于A，B两点，点D(x0,y0)在双曲线C上．
(1)求线段AB中点的坐标；
(2)若a=1，过点D作斜率为2x0y0的直线l′与直线l1： 2x−y=0交于点P，与直线l2： 2x+y=0交于点Q，若点R(m,n)满足|RO|=|RP|=|RQ|，求m2+2x02−2n2−y02的值．
19.(本小题12分)
已知有穷数列A：a1,a2,⋯,aN(N∈N∗,N≥3)满足ai∈{−1,0,1}(i=1，2，⋯，N).给定正整数m，若存在正整数s，t(s≠t)，使得对任意的k∈{0,1,2,⋯,m−1}，都有as+k=at+k，则称数列A是m−连续等项数列．
(1)判断数列A：1，−1，0，−1，0，−1，1是否是3−连续等项数列，并说明理由；
(2)若项数为N的任意数列A都是2−连续等项数列，求N的最小值；
(3)若数列A：a1，a2，⋯，aN不是4−连续等项数列，而数列A1：a1，a2，⋯，aN，−1，数列A2：a1，a2，⋯，aN，0与数列A3：a1，a2，⋯，aN，1都是4−连续等项数列，且a3=0，求aN的值．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.D
7.B
8.B
9.BCD
10.ABD
11.AD
12.264
13.3 2
14.8 2
15.解：(1)∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40−20×70)2110×110×160×60=556≈9.167>6.635，
∴有99%的把握认为“喜爱数学课与性别有关”．
(2)从不喜爱数学课的人员中按分层抽样法抽取6人，男生应抽取2人，设为A，B，女生应抽取4人，
设为a，b，c，d，从中随机抽出2人，总的情况为：
(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，
(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共15种，
至少有1名男生的情况数为9，
故根据古典概型的公式，得p=35．
16.解：(1)证明：解析一：
连接DG，因为AB⊥AF，AF=AB，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，∠DCE=45°，
在半圆DGC上，G是弧CD中点，所以∠GDC=45°，
所以DG/​/EC，又EC//FB，
所以DG//FB，B、F、D、G四点共面．
解析二：
直三棱柱中，AB⊥AF，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
AF=AB=2，设AD=ℎ，
A(0,0,0)B(0,2,0)，F(2,0,0)，D(0,0,ℎ)，G(−1,1,ℎ)，
则DG=(−1,1,0)，FB=(−2,2,0)，FB=2DG，
所以DG//FB，B、F、D、G四点共面．
(2)直棱柱中，AB⊥AF，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
AF=AB=2，设AD=ℎ，F(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,ℎ)，
FD=(−2,0,ℎ)，BF=(2,−2,0)，
设平面BFD的法向量为n=(x,y,z)．
则n⋅FD=0n⋅BF=0，有−2x+ℎz=0,2x−2y=0.，化简得x=ℎ2z,x=y,，取n=(ℎ,ℎ,2)，
A(0,0,0)，B(0,2,0)，G(−1,1,ℎ)，AB=(0,2,0)，AG=(−11,ℎ)，
设平面ABG的法向量为m=(r,s.t)，
则m⋅AB=0m⋅AG=0，有2s=0,−r+s+ℎt=0，化简得s=0r=ℎt,，所以取m=(ℎ,0,1)，
平面BDF与平面ABG所成二面角即n与m夹角或其补角，
所以|cs〈n,m〉|=|ℎ2+2| 2ℎ2+4 ℎ2+1= 216，
解得ℎ= 5，所以AD= 5．
17.解：(1)证明：令ℎ(x)=f(x)−g(x)−x，则ℎ(x)=tanx−2x，
所以ℎ′(x)=1cs2x−2=1−2cs2xcs2x=(1+ 2csx)(1− 2csx)cs2x
因此当x∈(0,π4)时，csx> 22，ℎ′(x)0，
所以ℎ(x)=tanx−2x在x∈(0,π4)上单调递减，在x∈(π4,π2)单调递增，
又因为ℎ(π4)2+1.7−2.5>0
所以ℎ(x)=tanx−2x在x∈(0,π4)无零点，在x∈(π4,π2)只有一个零点，
因此方程有且仅有一个根
(2)令φ(x)=f(x)−ag(x)=tanx−sinx−a(x−sinx)，
则φ′(x)=1cs2x−csx−a(1−csx)=(1−cs3x)cs2x−a(1−csx)
①若a≤0，则当x∈(0,π2)时，φ′(x)>0，
所以φ(x)在(0,π2)上单调递增，又φ(0)=0，所以φ(x)>0恒成立；
②当10，所以函数φ(x)在x∈(0,π2)单调递增，又φ(0)=0，φ(x)>0在x∈(0,π2)恒成立
③当a>3时令φ′′(x)=sinx(2−(a−1)cs3xcs3x)=0，
因为csx=32a−1∈(0,1)必有一解，记为x0，
所以当x∈(0,x0)时，φ′′(x)0
因此当x∈(0,x0)时，φ′(x)单调递减，当x∈(x0,π2)时，φ′(x)单调递增，
又φ′(0)=0，所以φ′(x)9，所以在(a1,a2)，(a2,a3)，(a3,a4)，⋯，(aN−1,aN)这N−1个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，即存在正整数s，t(s≠t)，使得as=at，as+1=at+1，
所以当项数N≥11时，数列A一定是2−连续等项数列，
若N=3，数列0，0，1不是2−连续等项数列；
若N=4，数列0，0，1，1不是2−连续等项数列；
若N=5，数列0，0，1，1，0不是2−连续等项数列；
若N=6，数列0，0，1，1，0，−1不是2−连续等项数列；
若N=7，数列0，0，1，1，0，−1，1不是2−连续等项数列；
若N=8，数列0，0，1，1，0，−1，1，−1不是2−连续等项数列；
若N=9，数列0，0，1，1，0，−1，1，−1，−1不是2−连续等项数列；
若N=10，数列0，0，1，1，0，−1，1，−1，−1，0不是2−连续等项数列，
所以N的最小值为11．
(3)因为A1，A2与A3都是4−连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数i，j，k(i,j,k1，因为ai−1，aj−1，ak−1，aN−3∈{−1,0,1}，
所以ai−1，aj−1，ak−1，aN−3中至少有两个数相等，
不妨设ai−1=aj−1，则ai−1=aj−1，ai=aj，ai+1=aj+1，ai+2=aj+2，
所以A是4−连续等项数列，与题设矛盾，所以min{i,j,k}=1，
所以aN=ai+2=aj+2=ak+2=a3=0． 喜爱数学课
不喜爱数学课
合计
男生
90
20
110
女生
70
40
110
合计
160
60
220
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828