2024学年广东省佛山市高明一中高三（上）调研数学试卷（1月份）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={a,b,c,d,e}，(∁UM)∩P={a}，(∁UP)∩M={b}，(∁UM)∩(∁UP)={c}，则( )
A. P={a}B. M={a,c}
C. P∩M={c,d,e}D. P∪M={a,b,d,e}
2.在复数范围内解得方程x2+4x+5=0的两根为x1，x2，则|x1−x2|=( )
A. 4B. 1C. 2D. 3
3.某同学经过研究发现y=1x实际是一条双曲线，则该双曲线的焦距为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
4.《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴(正半轴和负半轴)，进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程.现将平面向量的运算推广到n(n≥3)维向量，用有序数组(x1,x2,…，xn)表示n(n≥3)维向量，已知n维向量a=(−1,1,1,…，1)，b=(1,1,1,…，1)，则( )
A. |a+b|=n−1B. a⋅b=n−1
C. cs⟨a,b⟩=n−2nD. 存在λ∈R使得b=λa
5.将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)图象向左平移π2ω后，得到g(x)的图象，若函数g(x)在[0,π2]上单调递减，则ω的取值范围为( )
A. (0,3]B. (0,2]C. (0,43]D. (0,23]
6.2222除以5的余数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.把边长为 2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D−AC−B，则三棱锥D−ABC的外接球的球心到平面BCD的距离为( )
A. 33B. 22C. 63D. 12
8.已知a=27，b=ln1.4，c=e0.2−1，则( )
A. a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ，δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有( )
A. 若m⊥l，n⊥l，则m//n
B. 已知α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，若l∩m=P，则P∈n
C. 若m⊥α，m⊥β，α//γ，则β//γ
D. 若α⊥β，γ⊥α，δ⊥β，则γ⊥δ
10.在声学中，音量被定义为Lp=20lgpp0，其中Lp是音量(单位为dB)，p0是基准声压，为2×10−5Pa，p是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是( )
A. 音量同为20dB的声音，1000∼10000Hz的高频比30∼100Hz的低频更容易被人们听到
B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa
D. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
11.已知一组2n(n∈N*)个数据：a1，a2，…，a2n，满足：a1≤a2≤…≤a2n，平均值为M，中位数为N，方差为s2，则( )
A. an≤M≤an+1
B. an≤N≤an+1
C. 函数f(x)=i=12n(x−ai)2的最小值为2ns2
D. 若a1，a2，…，a2n成等差数列，则M=N
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T2=T5=32，则T6=______.
13.已知tanα=csα，则11−sinα−1sinα=______.
14.已知点F(2,0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为(1,−12)，则C的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAsinBcsC=sin2C.
(1)求a2+b2c2的值；
(2)若c=2，求△ABC面积S的最大值.
16.
17.(本小题15分)
如图1，在平面五边形ABCDE中，AD//BC,AD=2BC=4,AB= 6,∠ABC=90∘,△ADE是等边三角形.现将△ADE沿AD折起，记折后的点E为E′，连接E′B，E′C得到四棱锥E′−ABCD，如图2.
(1)证明：BC⊥CE′；
(2)若平面E′CD⊥平面ABCD，求二面角A−DE′−B的余弦值.
18.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和Sn，a1=3，且Sn+1=2Sn+n+3.数列{bn}满足b1=1,bn+1=(1+22n−1)bn(n∈N*).
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)将数列{bn}中的项按从小到大的顺序依次插入数列{an}中，在任意的ak，ak+1之间插入2k−1项，从而构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前100项的和.
19.(本小题17分)
某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若m=0.4，记每人血样化验的次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
(2)若m=0.8，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k+4元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.
参考数据及公式： 10≈3.16,(1+x)n≈1+nx(n∈N*,n≥2,|x|≤0.01).