江苏镇江市朱方高级中学2024-2025学年高二（上）数学第11周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏镇江市朱方高级中学2024-2025学年高二（上）数学第11周阶段性训练模拟练习【含答案】，共19页。试卷主要包含了已知F1，F2分别是椭圆C，已知直线l，下列结论中正确的是，已知圆M等内容，欢迎下载使用。
1．已知点P在直线y＝﹣x﹣3上运动，M是圆x2+y2＝1上的动点，N是
圆（x﹣9）2+（y﹣2）2＝16上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．13B．11C．9D．8
2．已知F1，F2分别是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）
3．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（ ）
A．﹣++B．﹣+
C．+﹣D．+﹣
4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线l：x﹣y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．设椭圆C的两个焦点是F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于点P，Q，若|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝4|QF1|，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列结论中正确的是（ ）
A．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
B．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，则圆O和圆C有4条公切线
C．若直线l：x﹣y+m＝0上存在点P，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[﹣4，4]
D．已知圆C：（x﹣6）2+y2＝9，点M的坐标为（2，4），过点N（4，0）作直线l交圆C于A，B两点，则的取值范围是[8，12]
（多选）8．过椭圆＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．△PQF2周长的最小值为18
B．四边形PF1QF2可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是[，]，则直线PB斜率的取值范围是[，﹣]
D．•的最小值为﹣1
（多选）9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在四边形A1B1C1D1所在的平面内，若，AC⊥DF，则下述结论正确的是（ ）
A．二面角A1﹣BD﹣A的平面角的正切值为2
B．CF⊥AC1
C．点E的轨迹是一个圆
D．直线DF与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为
三．填空题（共4小题）
10．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，Q是x轴上动点，QA，QB分别是圆M的切线，切点分别为A，B两点，则直线AB恒过定点 ．
11．已知点A，B为圆O：x2+y2＝13上两动点，且，点P为直线上动点，则|PA|2+|PB|2的最小值为 ．
12．已知正四面体P﹣ABC的棱长为1，空间中一点M满足，其中x，y，z∈R，且x+y+z＝1．则的最小值 ．
13．已知点P是椭圆上一动点，Q是圆（x+3）2+y2＝1上一动点，点M（6，4），则|PQ|﹣|PM|的最大值为 ．
四．解答题（共5小题）
14．已知圆O：x2+y2＝1和点．
（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程；
（2）已知A（2，4），设P为满足方程PA2+PO2＝34的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；
（3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，D（线段CD不经过圆心O），分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程．
15．已知圆C过两点P（3，2），Q（5，4），圆心在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点A（4，1）的直线l1与圆C交于点M，N两点，且，求直线l1的方程；
（3）若圆D的半径为3，圆心在直线x﹣y+2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
16．已知圆O：x2+y2＝1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．
（1）求直线l1的方程；
（2）设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2与点R，则直线QM交直线l2于点S．
求证：以RS为直径的圆C总过定点；并求出该定点的坐标．
17．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，D为线段AC的中点，直线OD与椭圆E交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．
（1）设直线CQ，AQ分别与直线MN交于点E，F，且满足S△QEF：S△QCA＝4：9，求点C的坐标；
（2）求|PQ|•|MN|的最大值．
18．已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线I交椭圆C于D、E两点，，求直线l的方程．
（3）若过椭圆上一点P（x0，y0）的切线方程为，利用上述结论，设d是从椭圆中心到椭圆在点Q处切线的距离，当Q在椭圆上运动时，判断d2|QF1||QF2|是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：圆（x﹣9）2+（y﹣2）2＝16的圆心为C（9，2），半径为4，
圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1，
如图所示，
则|PC|﹣4≤|PN|≤|PC|+4，|PO|﹣1≤|PM|≤|PO|+1，
所以|PM|+|PN|≥|PO|+|PC|﹣5，
故求|PM|+|PN|的最小值可转化为求|PC|+|PO|的最小值，
设O（0，0）关于直线y＝﹣x﹣3的对称点为G，
设G坐标为（m，n），
则，
解得，
故G（﹣3，﹣3），
因为|PO|＝|PG|，
可得，
当P，G，C三点共线时，等号成立，
所以|PM|+|PN|的最小值为13﹣5＝8．
故选：D．
2．【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，
又F1（﹣c，0），F2（c，0），
又∠F1PF2为钝角，当且仅当•＜0有解，
即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）＝（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+＜0，
即有c2＞+有解，即c2＞（+）min．
又＝b2﹣，
∴+＝b2+∈[b2，a2），
即（+）min＝b2．
故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，
∴＞，即e＞，
又0＜e＜1，
∴＜e＜1．
故选：A．
3．【解答】解：＝，
＝+﹣+，
＝++﹣，
＝﹣++，
∵＝，＝，＝，
∴＝﹣++，
故选：A．
4．【解答】解：连接AB1，因为BC∥B1C1，
所以∠B1C1A等于异面直线AC1与BC所成的角，
因为AB⊥AC，AB＝AC＝1，，所以BC＝B1C1＝，
AC1＝AB1＝＝，
在△AB1C1中，由余弦定理可得cs∠B1C1A＝
＝＝．
所以异面直线AC1与BC所成角的余弦值为．
故选：C．
5．【解答】解：若要∠APB最大，则只需锐角∠APO最大，
只需sin∠APO＝＝最大，即|OP|最小，
所以若|OP|最小，则OP⊥l，由垂径定理有OP⊥AB，
|OP|＝＝，
此时sin∠APO＝，∠APO＝45°，
即∠APB的最大值为．
故选：C．
6．【解答】解：如图，因为|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝4|QF1|，所以|PF2|＝|F1F2|2c，可得|PF1|＝2a﹣2c，
|QF1|＝，故|QF2|＝．
过F2作F2N⊥PQ，在直角三角形NQF2中，|NF2|2＝（2c）2﹣（a﹣c）2，|QN|＝，
由|NF2|2+|QN|2＝|QF2|2，可得7c2﹣12ac+5a2＝0．
即可得7e2﹣12e+5＝0，
∴e＝．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
7．【解答】解：对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，∴A错误；
对于B，圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r1＝2，
圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圆心为C（2，3），半径r2＝1，
则圆心距，又r1+r2＝3，
由，可知|OC|＞r1+r2，
∴两圆相离，∴圆O与圆C共有4条公切线，∴B正确；
对于C，连接OA，OB，OP，如图，
则易知四边形OAPB为正方形，
∴，∴点P的轨迹是圆心为O，半径为的圆，
又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，
∴圆心O到直线l的距离，∴﹣4≤m≤4，
∴实数m的取值范围为[﹣4，4]，∴C正确；
对于D，取AB中点D，连接CD，如图所示：
则CD⊥ND，
∴点D的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为G（5，0），半径r＝1，
∵，
∴|MG|﹣r≤|MD|≤|MG|+r，即4≤|MD|≤6，
∴，
∴的取值范围是[8，12]，∴D正确．
故选：BCD．
8．【解答】解：椭圆＝1的a＝5，b＝4，c＝3，
由|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2|，可得四边形PF1QF2为平行四边形，
则|QF2|＝|PF1|，所以△PQF2的周长为|PQ|+|QF2|+|PF2|＝|PQ|+（|PF1|+|PF2|）＝|PQ|+2a≥|2b+2a＝8+10＝18，
即△PQF2的周长的最小值为18，故A正确；
若四边形PF1QF2为矩形，则PF1⊥PF2，即有|OP|＝|OF1|＝c，但c＝3＜b＝4，所以P不存在，故B错误；
设P（m，n），则16m2+25n2＝400，又A（﹣5，0），B（5，0），
可得kPA•kPB＝•＝＝＝﹣，
若直线PA斜率的取值范围是[，]，则kPB＝﹣•∈[，﹣]，故C正确；
设P（m，n），又F1（﹣3，0），B（5，0），则•＝（﹣3﹣m，﹣n）•（5﹣m，﹣n）＝（m+3）（m﹣5）+n2＝m2+n2﹣2m﹣15＝m2﹣2m﹣15+16（1﹣）
＝m2﹣2m+1＝（m﹣）2﹣，因为∈[﹣5，5]，所以当m＝时，•取得最小值﹣，故D错误．
故选：AC．
9．【解答】解：对于A，连接AC，BD相交于O，连接OA1，
由于AO⊥BD，且A1B＝DA1＝AB，
故AO⊥BD，
因此∠A1OA为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，
故，故A错误，
对于C：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，AE⊂平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥A1E，
故，则有A1E＝1，
所以点E的轨迹是以A1为圆心，1为半径的圆，故选项C正确；
对于B：在正方体中，平面ABCD⊥平面B1BDD1，且两平面交线为BD，
AC⊥BD，AC⊂平面ABCD，
故AC⊥平面B1BDD1，
因为AC⊥DF，则DF⊂平面B1BDD1，
故F在B1D1上，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为点F的轨迹是线段B1D1，设，则F（2λ，2﹣2λ，2），
则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），C1（2，2，2），
，，
故，
进而可得，故CF⊥AC1，B正确，
又，，，
设平面A1BD的一个法向量为＝（x，y，z），
则，则，
令x＝1，则y＝1，z＝1，
故平面ABD的一个法向量为，
设DF与平面A1BD所成的角为α，
则，
当λ＝0时，sinα有最大值，
故AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题）
10．【解答】解：由已知得∠QAM＝∠QBM＝90°，所以A，B两点在以QM为直径的圆上，
设Q（x0，0），M（0，2），则以QM为直径的圆的方程为（x﹣x0）（x﹣0）+（y﹣0）（y﹣2）＝0，
所以A，B两点在圆x2+（y﹣2）2＝1和圆（x﹣x0）（x﹣0）+（y﹣0）（y﹣2）＝0上，
两式相减得x0x﹣2y+3＝0，即直线AB方程为，
所以直线AB过定点．
故答案为：．
11．【解答】解：取AB的中点C，则，
因为圆O：x2+y2＝13，直线，
所以圆心到直线的距离为，
因为，，
所以|PA|2+|PB|2＝＝
＝＝≥2×25+4×5×1×（﹣1）+26＝56，
当且仅当OP⊥l，且O，P，C三点共线，C在OP之间时等号成立，
所以|PA|2+|PB|2的最小值为56．
故答案为：56．
12．【解答】解：∵正四面体P﹣ABC的棱长为1，空间中一点M满足，
其中x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
∴M与A，B，C共面，则||的最小值为三棱锥的高，
设O为P在平面ABC上的射影，连接OC并延长交AB于点H，
则CH⊥AB，
∴CH＝，∴CO＝，
∴三棱锥的高为＝，
∴的最小值为．
故答案为：．
13．【解答】解：作出图形，如图所示：
，则a2＝25，b2＝16，
则，即椭圆的左，右焦点坐标分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），
则圆（x+3）2+y2＝1的圆心（﹣3，0）为椭圆的左焦点，
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
∴|PQ|≤|PF1|+1＝10﹣|PF2|+1＝11﹣|PF2|，
又，
∴|PQ|﹣|PM|≤11﹣|PF2|﹣|PM|，＝11﹣（|PF2|+|PM|）≤11﹣|MF2|＝11﹣5＝6，
故答案为：6．
四．解答题（共5小题）
14．【解答】（1）解：当切线斜率不存在时，显然x＝1与圆O：x2+y2＝1相切，
当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，
所以，解得，
则，整理得，
综上，切线的方程为x＝1和．
（2）解：由题设，若P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣4）2+x2+y2＝34，整理得x2+y2＝2x+4y+7，
若存在N（m，n），使为定值，
又|PB|2＝|PO|2﹣1＝x2+y2﹣1，|PN|2＝（x﹣m）2+（y﹣n）2，
则x2+y2﹣1＝k（x﹣m）2+k（y﹣n）2，
整理得（1﹣k）（x2+y2）＝k（m2+n2）﹣2mkx﹣2nky+1，
即（1﹣k）（2x+4y+7）＝k（m2+n2）﹣2mkx﹣2nky+1，
整理得（2﹣2k+2mk）x+（4﹣4k+2nk）y+6﹣7k﹣k（m2+n2）＝0，
要使为定值，则
解得，，或m＝﹣1，n＝﹣2，，
综上，存在定点，定值或定点N（﹣1，﹣2），定值．
（3）证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x0，y0），，，
由CE⊥CO，则x1（x1﹣x0）+y1（y1﹣y0）＝0，即，
又，故x1x0+y1y0＝1，同理x2x0+y2y0＝1，
所以直线CD为x0x+y0y＝1，
又M在CD上，所以，
故点E在直线上．
15．【解答】解：（1）依题意，设圆心C（a，a+1），半径为r，则|PC|＝|QC|＝r，
即，解得a＝3，
所以C（3，4），r＝|PC|＝2，得圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．
（2）设圆C到直线l1的距离为d，由，得d＝1，
若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝4，符合题意，
若直线l1的斜率存在，设y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+1＝0，
由圆心C到直线l1的距离为1，即，得，
所以直线方程为4x+3y﹣19＝0，
综上，所求直线l1的方程为x＝4或4x+3y﹣19＝0．
（3）依题意设D（m，m+2），由两圆外切，可知|CD|＝3+2＝5，
所以，解得m＝﹣1或m＝6，
所以D（﹣1，1）或（6，8），
所以圆D的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝9或（x﹣6）2+（y﹣8）2＝9．
16．【解答】（1）解：设直线l1的方程为y＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0．
由直线l1与圆O：x2+y2＝1相切，可知点O到直线l1的距离，解得．
所以直线l1的方程为，即或；
（2）证明：根据题意，可得圆O：x2+y2＝1，交x轴于P（﹣1，0）、Q（1，0）．
过点A（3，0）且与x轴垂直的直线为l2：x＝3，
设M（s，t），则直线PM的方程为，
由方程组，解得R（3，），同理可得S（3，）．
可得RS的中点坐标为（3，（，），即，
所以圆C的圆心为C，半径R＝|﹣|＝，
由点M（s，t）在圆x2+y2＝1上，可得s2+t2＝1，
圆心C的坐标化为，半径R＝，可得圆C的方程为．
即＝0，即．
结合s2+t2＝1，化简得圆C的方程为，
令y＝0，可得（x﹣3）2＝8，解得x＝，可知圆C经过定点（，0）．
综上所述，圆C经过定点，定点的坐标为（，0）．
17．【解答】解：（1）如图，
因为AC∥EF，所以△QEF∽△QCA，又因为SΔQEF：SΔQCA＝4：9，
所以△QEF与△QCA的相似比为，
又因为QO，QD分别为△QEF与△QAC的中线，
所以，所以，
由椭圆的对称性可知，QO＝PO，
所以，所以，
所以D为PO的中点，连接PC，AP，CO，
因为CD＝DA，PD＝OD，所以四边形AOCP是平行四边形，
所以CP∥AO，设C（x0，y0），
由椭圆的对称性知，P（﹣x0，y0），x0＞0，y0＞0，
由四边形AOCP的性质可得CP＝AO＝2，
所以x0﹣（﹣x0）＝2x0＝2，所以x0＝1，
将x0＝1，代入中，
可得，解得：，
所以点C的坐标为；
（2）设点C（x0，y0），由A（﹣2，0），可得，
则，，
所以，
由题，直线OM的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为y＝kx，k＞0，
联立方程组，解得：，
则，
因为，可得，同理可得，
所以，
令1+4k2＝t，则t＞1，
故
＝
＝
≤，
当t＝2时，即时，取等号，
即，
又因为|PQ|•|MN|＝4|OM|•|OP|，
所以|PQ|•|MN|的最大值为10．
18．【解答】解：（1）由题可得：，
解得：a＝2，，
故椭圆C的方程为；
（2）由（1）知，A（﹣2，0），F2（1，0），
若直线l的斜率不存在，则x＝1，
代入椭圆方程可得，故，
此时，
故直线斜率存在，如图，
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝k（x﹣1），D（x1，y1），E（x2，y2），
联立 ，化简得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，显然Δ＞0，
则，，
所以S△ADE＝
＝
＝
＝，
化简得：17k4+k2﹣18＝0，即（k2﹣1）（17k2+18）＝0，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为：y＝±（x﹣1）；
（3）依题意，设椭圆上的点Q（x0，y0），则过点Q（x0，y0）的切线方程为：，
即3x0x+4y0y﹣12＝0，又，则，，
则原点到切线的距离为，
又，
同理，
则，
故，为定值．