江苏南京市金陵中学2024-2025学年高三上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏南京市金陵中学2024-2025学年高三上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】，共18页。试卷主要包含了已知反比例函数y＝，已知3sin，已知椭圆E，已知函数f，设M，N，P为函数f等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．平面向量，，满足||＝||＝•＝2，|++|＝1，则（+）•（+）的最小值是（ ）
A．﹣3B．C．D．
3．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ）
A．140种B．44种C．70种D．252种
4．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝±x，由此可求得其离心率为．已知函数y＝x+的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y＝x和y轴，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，AC＝3，，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
6．已知3sin（α﹣）＝sin（α+），则cs2α＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
7．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F2，左顶点为A1，若E上的点P满足PF2⊥x轴，sin∠PA1F2＝，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知a＝sin1，b＝cs1，则下列不等式正确的是（ ）
A．lgab＜ab＜baB．lgab＜ba＜ab
C．ab＜ba＜lgabD．ba＜ab＜lgab
9．已知函数f（x）＝x2﹣．若存在m∈（1，4）使得不等式f（4﹣ma）+f（m2+3m）＞2成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，7）B．（﹣∞，7]C．（﹣∞，8）D．（﹣∞，8]
二．多选题（共3小题）
（多选）10．设M，N，P为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）图象上三点，其中A＞0，ω＞0，，已知M，N是函数f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若．△MNP的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数f（x）在M，N间的图象上存在点Q，使得
（多选）11．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设cn＝，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2023时，n的取值可以是下面选项中的（ ）
A．8B．9C．10D．1I
（多选）12．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，O是坐标原点，P为抛物线C上一动点，直线l交C于A，B两点，点Q（1，1）不在抛物线C上，则（ ）
A．若A，B，F，Q四点共线，则p＝2
B．若|PQ|+|PF|的最小值为2，则p＝2
C．若直线l过焦点F，则直线OA，OB的斜率kOA，kOB满足kOA•kOB＝﹣
D．若过点A，B所作的抛物线的两条切线互相垂直，且A，B两点的纵坐标之和的最小值为4，此时△ABQ的面积为4
三．填空题（共4小题）
13．若数列{an}满足a1＝a2＝1，，则a100＝ ．
14．已知函数f（x）＝x3﹣x在（﹣1，f（﹣1））处的切线也是g（x）＝x2+a的切线，则实数a＝ ．
15．（x2﹣2）4的展开式中，x2的系数是 ．
16．正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为a，P是正方体表面上的动点，若|AP|＝a，则动点P的轨迹长度为 ．
四．解答题（共6小题）
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ctanB＝（2a﹣c）tanC．
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝2，求BD长的最大值．
18．春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是．
（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望；
（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．
19．已知函数，m∈R．
（1）当m＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与x轴相切，求证：1+ln2＜m＜2+ln6．
20．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点是F1，F2，顶点A（0，﹣2），点M是双曲线C上一个动点，且﹣|的最小值是8．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点．若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，左焦点为F1，且过点M（1，）．O为坐标原点，△A1B1F1与△OA2B2的面积的比值为1﹣．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：y＝kx+m（k＞0，m≠0）与椭圆C交于P，Q两点，记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若k为k1，k2的等比中项，求△OPQ面积的取值范围．
22．设函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g（x）＝ex﹣1﹣3ax+a（e为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；
（2）设函数h（x）＝g（x）﹣f'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数，求证：h（x）的极小值不大于1．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：设AB的中点为E，由题意知，点E既是AB的中点又是MN的中点，
设l：y＝kx+b（k＞0，b＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由x＝0，可得y＝b，由y＝0，可得x＝﹣，
则，M（﹣，0），N（0，b），E（﹣，）；
直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|AM|＝|BN|，
故MN的中点与AB的中点重合，
把直线代入椭圆方程得，
即，
故，
故．解得，从而．
故选：A．
2．【解答】解：设，
由|++|＝1，
则，
则（+）•（+）＝＝＝，
又||＝||＝•＝2，
则，
则，
则（+）•（+），
即（+）•（+）的最小值是．
故选：B．
3．【解答】解：男女生都要有的选法有种．
故选：C．
4．【解答】解：∵渐近线y＝x的斜率为，∴该渐近线的倾斜角为，
∴两条渐近线y＝x和y轴的夹角为，
∴将双曲线y＝x+的图象绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝x，
∴，
∴该双曲线的离心率是＝＝＝．
故选：C．
5．【解答】解：画出图形如图：建立如图所示的坐标系，
在△ABC中，A＝60°，AB＝2，AC＝3，
所以B（2，0），C（，），＝（，），
由，M（x，y），（x﹣，y﹣）＝3（2﹣x，﹣y），
解得x＝，y＝，
＝（，），＝（﹣，），
所以＝﹣+＝．
故选：C．
6．【解答】解：由3sin（α﹣）＝sin（α+），得3（sinαcs﹣csαsin）＝sinαcs+csαsin，
化简得sinα＝2csα，
所以＝tanα＝，
所以cs2α＝cs2α﹣sin2α＝＝＝＝﹣．
故选：B．
7．【解答】解：∵PF2⊥x轴，且sin∠PA1F2＝，|PF2|＝a+c，|PF2|＝，可得tan∠PA1F2＝，
可得＝，
∴4a2﹣4c2＝3a2+3ac，即，4e2+3e﹣1＝0，e∈（0，1），
∴e＝＝．
故选：C．
8．【解答】解：∵＜1＜，
∴0＜cs1＜sin1＜1，
即0＜b＜a＜1，
故lgab＞lgaa＝1，
ba＜aa＜ab＜a0＝1，
故ba＜ab＜lgab，
故选：D．
9．【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣1＝x2﹣＝，
F（﹣x）＝＝＝﹣F（x），
所以F（x）为奇函数，
不等式f（4﹣ma）+f（m2+3m）＞2，即f（4﹣ma）﹣1+f（m2+3m）﹣1＞0，
即F（4﹣ma）+F（m2+3m）＞0，
所以F（m2+3m）＞﹣F（4﹣ma）＝F（ma﹣4），
因为y＝x2＞0在（0，+∞）上为增函数，y＝1﹣＞0在（0，+∞）上为增函数
所以F（x）＝x2（1﹣）在（0，+∞）上为增函数，
由奇函数的性质可得F（x）在R上为增函数，
所以不等式等价于m2+3m＞ma﹣4，分离参数可得a＜m++3，
令g（m）＝m++3，m∈（1，4），
由对勾函数的性质可知g（m）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，
g（1）＝8，g（4）＝8，所以g（m）＜8，
所以由题意可得a＜8，
即实数a的取值范围是（﹣∞，8）．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
10．【解答】解：如图，
对于AB，由图有＝，
所以，
而，故，A错误、B正确；
对于C，因为M点的坐标是，则（k∈Z），而，故，C正确；
地图D，显然，函数f（x）的图象有一部分位于以MN为直径的圆内，当Q位于以MN为直径的圆内时，，D正确．
故选：BCD．
11．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，且首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，
∴，
则，则数列{cn}为递增数列，
∴＝，
当n＝9时，Tn＝1013＜2023，
当n＝10时，Tn＝2036＞2023，
∴n的取值可以是8，9，
故选：AB．
12．【解答】解：若直线l过F，Q且与y轴垂直，可得p＝2，当直线l过点F，Q但不与y轴垂直时，得不出p＝2，故A错；
当点Q在抛物线的内部时 1＜2p，由抛物线的定义可得，
|PQ|+|PF|≥|PQ|+|PN|≥1+＝2（N为抛物线准线上的点）；
当点Q在抛物线外部时1＞2p，连接FQ，|PQ|+|PF|≥|QF|＝＝2，得p＝2+2，故B对；
由条件知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+与x2＝2py联立消去y得x2﹣2pkx﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2＝﹣p2，∴y1y2＝＝，
∴kOAkOB＝﹣，故C正确；
设A（x1，y1），B（x2，y2），由x2＝2py，得，
∴，即，
∴，所以当x1+x2＝0时，
y1+y2取得最小值，∴p＝4，
从而解得x1＝4，x2＝﹣4，y1＝y2＝2；
∴＝4，故D正确，
故选：BCD．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：由已知可得，
两式作差得：an+3﹣an＝2n+1，即an+3＝an+2n+1，
故a100＝a97+2×97+1＝a94+2×94+1+2×97+1
＝…＝1+（2×1+1）+（2×4+1）+...+（2×97+1）
＝2×（1+4+…+97）+34＝2×+34＝3268．
故答案为：3268．
14．【解答】解：由f（x）＝x3﹣x，得f′（x）＝3x2﹣1，
∴f′（﹣1）＝2，又f（﹣1）＝0，
则f（x）＝x3﹣x在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y＝2（x+1）＝2x+2，
联立，得x2﹣2x+a﹣2＝0．
由Δ＝4﹣4（a﹣2）＝12﹣4a＝0，解得a＝3．
故答案为：3．
15．【解答】解：∵（x2﹣2）4＝＝，
∵（x2﹣1）8中x10的系数为：（﹣1）3•＝﹣56．
∴展开式中x2的系数为：﹣56．
故答案为：﹣56．
16．【解答】解：正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为a，P是正方体表面上的动点，若|AP|＝a，
所以P点在不含点A的三个平面上，如图，是3个的圆周，
动点P的轨迹长度为：3×＝．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）因为ctanB＝（2a﹣c）tanC，
由正弦定理得：，
由sinC＞0，得sinBcsC＝2sinAcsB﹣sinCcsB，
所以sinBcsC+csBsinC＝2sinAcsB，
即sin（B+C）＝2sinAcsB，
因为B+C+A＝π，所以sinA＝2sinAcsB，
又sinA＞0，所以．
因为0＜B＜π，所以；
（2）由S△ABD+S△CBD＝S△ABC，
得，
所以，
在△ABC中，由余弦定理得：AB2+BC2﹣AB×BC＝12，
所以，从而，当且仅当AB＝BC取等号．
则，当且仅当取等号，
则BD长的最大值为3．
18．【解答】解：（1）设一位顾客获得X元奖券，X可能取值为0，50，100，
，
P（X＝50）＝，
P（X＝100）＝，
所以每位顾客获得奖券金额的期望是E（X）＝100×+50×＝16元．
（2）设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，B，C分别记为事件N1，N2，N3，
则P（M）＝＝，
所以，
即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是．
19．【解答】（1）解：当 m＝1时，f（x）＝ex﹣1﹣的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝ex﹣1﹣＝，
又f′（1）＝0，y＝x2ex﹣1+lnx﹣1 在（0，+∞）上单调递增，
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以 f（x）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为 （1，+∞）．
（2）证明：设函数f（x）的图象与x轴相切于点P（x0，0），
则，即，
所以lnx0﹣＝0，
设h（x）＝lnx﹣，则h（x）在 （0，+∞）上单调递增且图象不间断，
又h（1）＜0，h（2）＞0，所以x0∈（1，2），
由 ﹣＝0，得em＝，
又因为 ，所以 ，则em＝x0（x0+1），
所以 m＝ln（x0+1）+x0+lnx0∈（1+ln2，2+ln6）．
20．【解答】解：（1）因为双曲线C的顶点A（0，﹣2），
所以a＝2，
此时双曲线C的方程为，
不妨设M（x，y），F1（0，﹣c），F2（0，c），c＞0，
此时＝|[x2+（y+c）2]﹣[x2+（y﹣c）2]＝4c|y|≥4ac＝8c，
当且仅当y＝±a时，等号成立，
则|的最小值为，
解得，
则b2＝c2﹣a2＝5﹣4＝1，
故双曲线C的方程为；
（2）不妨设P（0，t），t≠0，t≠±2，
此时直线l的方程为y＝t，
不妨设直线BD的方程为y＝kx+t，k≠±2，B（x1，y1），D（x2，y2），
联立，消去y并整理得（k2﹣4）x2+2ktx+t2﹣4＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得，，
不妨设直线AB的倾斜角为α，直线OH的倾斜角为β，
所以或，
则直线AB的斜率与直线OH的斜率满足kABkOH＝1，
因为直线AD的方程为，
所以，
此时，
又，
所以＝1，
因为，，
整理得5t2+8t﹣4＝0，
解得或t＝﹣2（舍去），
故．
21．【解答】解：（1）根据题意可得，
解得a2＝2，b2＝c2＝1，
所以椭圆C的方程为+y2＝1．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
Δ＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝16k2m2﹣（4+8k2）（2m2﹣2）＝16k2m2﹣8m2+8﹣16k2m2+16k2＝﹣8m2+8+16k2＞0（*），
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，
所以k1k2＝•＝＝＝
＝＝
＝，
因为k为k1，k2的等比中项，
所以k1k2＝k2，
所以＝k2，
化简得k2＝，
代入（*），得0＜m2＜2，
|PQ|＝＝＝，
点O到直线l的距离d＝，
所以S△OPQ＝•|PQ|•d＝••
＝••|m|
＝•|m|
＝•，0＜m2＜2，
所以当m2＝1时，（S△OPQ）max＝，
所以△OPQ面积的取值范围（0，]．
22．【解答】解：（1）因为f（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，f'（x）＝lnx﹣2ax，
所以f（x）＝xlnx﹣ax2﹣x有两个极值点就是方程lnx﹣2ax＝0有两个解，即y＝2a与m（x）＝的图象有两个交点，
因为m′（x）＝，当x∈（0，e）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，
所以m（x）有极大值m（e）＝，
又因为x∈（0，1]时，m（x）≤0；
当x∈（1，+∞）时，0＜m（x）≤，
所以当0＜2a＜，即0＜a＜，
y＝2a与m（x）＝的图象有两个交点，
所以a的取值范围为（0，）．
（2）证明：h（x）＝g（x）﹣f'（x）＝ex﹣1﹣3ax+a﹣（lnx﹣2ax）＝ex﹣1﹣ax+a﹣lnx，
h′（x）＝ex﹣1﹣a﹣，
记x0为h（x）的极小值点，则有e﹣﹣1＝0，即a＝e﹣，
所以h（x0）＝e﹣ax0+a﹣lnx0＝e+a（1﹣x0）﹣lnx0＝e+（e﹣）（1﹣x0）﹣lnx0
＝e（2﹣x0）+1﹣lnx0﹣，
因为h（x）的极小值不大于1，
所以h（x0）＝e（2﹣x0）+1﹣lnx0﹣≤1恒成立，
即e（2﹣x0）﹣lnx0﹣≤0恒成立，
令m（x）＝ex﹣1（2﹣x）﹣lnx﹣，
m′（x）＝ex﹣1（1﹣x）﹣+＝ex﹣1（1﹣x）+＝（ex﹣1+）（1﹣x），
所以当0＜x＜1时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
当x＞1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
所以m（x）max＝m（1）＝0，
所以m（x）≤0，得证．