江苏镇江市朱方高级中学2024-2025学年高一（上）数学第11周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏镇江市朱方高级中学2024-2025学年高一（上）数学第11周阶段性训练模拟练习【含答案】，共17页。试卷主要包含了若定义域为R的奇函数f，已知在，下列函数中，既是偶函数又是区间等内容，欢迎下载使用。
1．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
2．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）B．
C．D．
3．若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）B．[0，1）C．D．（1，+∞）
4．已知a，b＞0，且a+2b＝1，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
5．已知函数在定义域R上是减函数，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．1D．2
6．已知非负实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
7．若存在x∈[]，使不等式x2﹣ax+1≥0成立，则实数a取值范围是（ ）
A．a≤2B．2C．aD．2
8．已知集合A＝{m|2≤m≤6}，B＝{n|t﹣2≤n≤2t}（t＞﹣2）．若∀m∈A，∃n∈B，使得m＜n成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．t＞1B．t＞3C．t＞4D．t＞8
9．已知在（﹣∞，+∞）上满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，3）B．C．D．
二．多选题（共5小题）
（多选）10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（ ）
A．y＝3|x|+1B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）
C．y＝x2+2D．
（多选）11．若6b＝3，6a＝2，则（ ）
A．＞1B．ab＜C．a2+b2＜D．b﹣a＞
（多选）12．若关于x的不等式aex+bx+c＜0的解集为（﹣1，1），则（ ）
A．b＞0B．|a|＜|c|C．a+b+c＞0D．8a+2b+c＞0
（多选）13．已知函数f（x）＝x2﹣4|x|+1，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2]上是单调递增
B．函数y＝f（x）在[﹣2，0]上是单调递增
C．当x＝0时，函数y＝f（x）有最大值
D．当x＝﹣2或x＝2时，函数y＝f（x）有最小值
（多选）14．已知函数，则下列关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（f（﹣1））＝1
B．若f（x）＝3，则x的值是
C．f（x）＜1的解集为（﹣∞，1）
D．f（x）的值域为（﹣∞，4）
三．填空题（共5小题）
15．设函数f（x）的定义域为R，f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝a•2x+b，若f（0）+f（1）＝﹣4，则＝ ．
16．（2022•定海区校级模拟）设函数f（x）＝，则f[f（0）]＝ ，若方程f（x）＝b有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是 ．
17．已知函数f（x）为R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2x﹣3，则x＜0时，f（x）＝ ．
18．已知x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy＝﹣7，则2x+y的最小值为 ．
19．已知函数，则f（2）＝ ．
四．解答题（共8小题）
20．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0），若﹣1和3是函数f（x）的两个零点，且f（x）最大值为4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试确定一个区间D，使得f（x）在区间D内单调递减，且不等式f（x）≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立．
21．设a，b为实数，已知定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）为R上的增函数，并求f（x）在（﹣1，2]上的值域．
22．已知函数f（x）＝x|x﹣m|+n．
（1）当f（x）为奇函数，求实数m的值；
（2）当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值．
23．已知函数，其中实数a＞0且a≠1．
（1）若关于x的函数在上存在零点，求a的取值范围；
（2）求所有的正整数m的值，使得存在a∈（0，1），对任意x∈[m，7]，均有不等式成立．
24．已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1
（1）求m，n的值；
（2）用定义法判定f（x）的单调性；
（3）求使f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0成立的实数a的取值范围．
25．若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）＝2b，则称函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（Ⅰ）已知函数的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）＝x2+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈（﹣∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．
26．定义域在[﹣5，5]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，5]时，．
（1）若f（m2﹣3m）＞﹣14成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数，若对于任意的x1，x2∈[﹣5，5]，都有g（x1）＞f（x2）成立，求实数a的取值范围．
27．已知b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），往糖水中加入m克糖（m＞0），（假设全部溶解）糖水更甜了．
（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
（2）利用（1）的结论比较的大小；
（3）证明命题：设x＞0，y＞0，z＞0，证明：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：∵+＝，
∴a＞0，b＞0，
∵（当且仅当b＝2a时取等号），
∴，
解可得，ab，即ab的最小值为2，
故选：C．
2．【解答】解：幂函数在（0，+∞）上单调递减，故m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3，
又m∈N*，故m＝1或2，
当m＝1时，y＝x﹣4的图象关于y轴对称，满足题意，
当m＝2时，y＝x﹣3的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1，
不等式化为，
函数在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，
故a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得a＜﹣1或．
故选：D．
3．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）＝0；
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同，
∴f（x）在R上单调递增；
∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x），
∴2x﹣1＜x，解得x＜1，
∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（﹣∞，1）．
故选：A．
4．【解答】解：∵a+2b＝1，
∴＝＝9，当且仅当时等号成立．
故选：C．
5．【解答】解：根据题意，函数在定义域R上是减函数，
则有，解得，
分析选项：选项中A正确，B、C、D错误．
故选：A．
6．【解答】解：因为x+y＝1，可得x+y+1＝2，即，
又因为非负实数x，y，所以x＞0，y+1＞0，
则＝•（+）[x+（1+y）]＝（+1++）≥（+2）＝，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为．
故选：B．
7．【解答】解：由题意，可知：
∵x∈[]，∴x＞0，
对不等式进行参变量分离，可得：
a≤x+，
令f（x）＝x+，x∈[]．
则f（x）图象如下：
根据图象，可知：
只要使x存在于区间[]即可，
∴a≤f（x）max＝f（3）＝．
故选：C．
8．【解答】解：因为t＞﹣2，所以t﹣2＜2t，则B≠∅．
依题意，只需（m）max＜（n）max，
则6＜2t，
解得t＞3．
故选：B．
9．【解答】解：根据题意，因为f（x）在（﹣∞，+∞）上满足，
则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
而，
则有，解得，
即实数a的取值范围为．
故选：B．
二．多选题（共5小题）
10．【解答】解：y＝3|x|+1，定义域为R，又f（﹣x）＝3|﹣x|+1＝3|x|+1＝f（x），故函数为偶函数，
当x＞1时，f（x）＝3|x|+1＝3x+1单递增，故A正确；
要使函数y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）有意义，则有，定义域x∈（1，+∞）不关于（0，0）对称．故不为偶函数，故B错误；
y＝x2+2，对称轴x＝0，函数在（0，+∞）上单调递增，且为偶函数，故C正确；
，定义域{x|x≠0}关于原点对称，且，故不为偶函数，故D错误．
故选：AC．
11．【解答】解：若6b＝3，6a＝2，则a＝lg62，b＝lg63，
则a+b＝1，且0＜a＜b＜1，b＝1﹣a，0＜a＜，
故＞1，ab＝a（1﹣a）＝﹣（a﹣）2+∈（0，），故A正确，B正确；
a2+b2＝a2+（1﹣a）2＝2a2﹣2a+1＝2（a﹣）2+＞，故C错误；
b﹣a＝lg63﹣lg62＝lg61.5＞lg660.1＝0.1，故D正确．
故选：ABD．
12．【解答】解：根据题意，关于x的不等式aex+bx+c＜0的解集为（﹣1，1），
则方程aex+bx+c＝0的两个根为﹣1和1，则有，
联立可得：c＝﹣a，b＝﹣a，
0∈（﹣1，1），则有ae0+b×0+c＝a+c＝a﹣a＜0，变形可得：a＜0，
则有a＞0，
依次分析选项：
对于A，由于b＝﹣a，且a＜0，则有b＝﹣a＜0，A错误；
对于B，由于c＝﹣a，则|c|＝|a|＞|a|，B正确；
对于C，a+b+c＝a﹣a﹣a＝（1﹣e）a＜0，C错误；
对于D，8a+2b+c＝8a﹣（e﹣）a﹣a＝（8﹣+）a＞0，D正确；
故选：BD．
13．【解答】解：f（x）＝x2﹣4|x|+1＝，
作出函数f（x）的图象如下：
由图象可知，函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2]上是单调递减，在[﹣2，0]上是单调递增，故A错误，B正确；
由图象可知f（x）在x＝﹣2或x＝2时，函数y＝f（x）有最小值，没有最大值，故C错误，D正确．
故选：BD．
14．【解答】解：由f（x）＝x+2，x≤﹣1，得f（﹣1）＝﹣1+2＝1，
又f（x）＝x2，﹣1＜x＜2，
∴f（f（﹣1））＝f（1）＝12＝1，故A正确；
当x≤﹣1时，由f（x）＝x+2＝3，解得：x＝1（舍），
当﹣1＜x＜2时，由f（x）＝x2＝3，解得：（舍）或，
∴f（x）＝3的解为，故B正确；
当x≤﹣1时，由f（x）＝x+2＜1，解得：x＜﹣1，
当﹣1＜x＜2时，由f（x）＝x2＜1，解得：﹣1＜x＜1，
∴f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1），故C错误；
当x≤﹣1时，f（x）＝x+2≤﹣1+2＝1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝x2∈[0，4），
∴f（x）的值域为（﹣∞，4），故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共5小题）
15．【解答】解：∵f（x+1）是奇函数，f（x）是偶函数，
∴f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）＝f（x﹣1），
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝f（x），
即f（x）是周期为4的周期函数，
则x＝0时，f（1）＝﹣f（1），则f（1）＝0，
∵f（0）+f（1）＝﹣4，∴f（0）＝﹣4，
即f（2）＝﹣f（0）＝4，
则，得a＝2，b＝﹣4，
＝f（﹣4）＝f（﹣）＝﹣f（﹣+2）＝﹣f（）＝﹣（2×﹣4）＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．
16．【解答】解：函数f（x）＝，则f[f（0）]＝f（e0）＝f（1）＝．
x≤0时，f（x）≤1，x＞0，f（x）＝﹣x2+x+，对称轴为：x＝，开口向下，
函数的最大值为：f（）＝，x→0时，f（0）→，
函数y＝f（x）的图象如图所示，
方程f（x）＝b有且仅有1个不同的实数根，
则函数y＝f（x）与y＝b有且只有1个交点，则实数b的取值范围是：（﹣∞，0]∪（，1]．
故答案为：；（﹣∞，0]∪（，1]．
17．【解答】解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣3＝x2﹣2x﹣3，
又由函数f（x）为R上的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣2x﹣3．
则x＜0时，f（x）＝x2﹣2x﹣3．
故答案为：x2﹣2x﹣3．
18．【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy＝﹣7，
所以y＝＞0，即x＞2，
则2x+y＝2x+＝2x+＝5+2（x﹣2）+＝5+6，
当且仅当2（x﹣2）＝，即x＝2+时取等号．
故答案为：5+6．
19．【解答】解：因为函数，
令，则x＝9，
故 f（2）＝9．
故答案为：9．
四．解答题（共8小题）
20．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝ax2+bx+c且﹣1和3是函数f（x）的两个零点，且f（x）最大值为4，
所以，解得a＝﹣1，b＝2，c＝3，
所以f（x）＝﹣x2+2x+3；
（2）函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象开口向下，对称轴为x＝1，
则函数f（x）在（∞，1]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减，
由不等式f（x）≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立，
则﹣x2+2x+3≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立，
即x2﹣（m+2）x﹣m﹣3＝（x+1）[x﹣（m+3）]≤0在区间D上恒成立，
由不等式（x+1）[x﹣（m+3）]≤0，可得﹣1≤x≤m+3，
所以不等式的解集为[﹣1，m+3]，
要使得f（x）在区间D内单调递减，且不等式f（x）≥﹣mx﹣m（m＞0）在区间D上恒成立，
则x∈[1，m+3]，
故可取区间D＝[1，3]．
21．【解答】解：（1）因为f （x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝0，可得a﹣＝0①，
且其图象经过点，
可得f（1）＝a﹣＝②，
联立①②，解得a＝1，b＝2，
所以f（x）＝1﹣＝，
f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足f（x）是奇函数，
所以f（x）的解析式为f（x）＝．
（2）证明：设任意x1，x2∈R且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣（1﹣）＝，
因为x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，+1＞0，+1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
所以f（x）为R上的增函数，
f（x）在（﹣1，2]上单调递增，f（﹣1）＝﹣，f（2）＝，
所以f（x）在（﹣1，2]上的值域为（﹣，]．
22．【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），
所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，
又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1+m|，解得m＝0，
此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数．故m＝0．
（2）f（x）＝x|x﹣1|+n＝
所以f（x）在和[1，n]上单调递增，在]上单调递减，
其中，，
所以时，所以，
时，，．
令得，，
因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值为．
23．【解答】解：（1），
令g（x）＝0，则ax2+x＝1，
由题意，，使得ax2+x＝1，所以，
令，所以a＝t2﹣t，在上单调递增，所以．
所以a的取值范围为
（2）当a∈（0，1）时，在（0，+∞）上单调递增，
而∈（0，1），x∈[m，，
所以，
所以1﹣a＞x|ax﹣1|，
所以，
即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，
x＝7时，a﹣1＜49a﹣7＜1﹣a，所以，
所以函数y＝ax2﹣x的对称轴方程为，m∈N*，所以，
所以，7]时，（ax2﹣x）max＝49a﹣7＜1﹣a恒成立，
当m≤3时，，
则﹣1＞4a2﹣4a，所以（2a﹣1）2＜0，不可能，舍去；
当4≤m≤6时，一1，
所以a（1﹣m2）＜1﹣m，即a（1+m）＞1，
即a＞，而＜，所以，
所有m的正整数的取值为6．
24．【解答】解：（1）依题意，，解得，
则．
经检验符合题意，
故m＝2，n＝0．
（2）在[﹣1，1]上是增函数．
证明如下：设∀x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则，
∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＜0，，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．
（3）f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0⇔f（a﹣1）＜﹣f（a2﹣1），
因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
所以﹣f（a2﹣1）＝f（1﹣a2），
则f（a﹣1）＜f（1﹣a2），
由（2）知在[﹣1，1]上是增函数，
所以，即，解得0≤a＜1．
故实数a的取值范围是[0，1）．
25．【解答】解：（Ⅰ）由题设，∵函数的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（﹣x）＝2，
∴＝2
∴m＝1…（4分）
（Ⅱ）∵函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
∴g（x）+g（﹣x）＝2，
∵当x∈（0，+∞）时，g（x）＝x2+ax+1，
∴当x＜0时，g（x）＝2﹣g（﹣x）＝﹣x2+ax+1…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，其最小值为f（1）＝3
，…（10分）
①当，即a＜0时，，∴…（12分）
②当，即a≥0时，g（x）max＜1＜3，∴a∈[0，+∞）…（13分）
由①、②得…（14分）
26．【解答】解：（1）易知函数y＝﹣x2和在[0，5]上都是单调递减函数，
故函数f（x）在[0，5]上是单调递减函数，
又f（x）是定义域在[﹣5，5]上的偶函数，故函数f（x）在[﹣5，0]上是单调递增函数，
又f（4）＝﹣14，故f（m2﹣3m）＞﹣14即f（m2﹣3m）＞f（4），
所以|m2﹣3m|＜4即﹣4＜m2﹣3m＜4解得﹣1＜m＜4，
所以实数m的取值范围为（﹣1，4）．
（2）由题意得“对任意x1，x2∈[﹣5，5]都有g（x1）＞f（x2）成立”，
所以g（x）min＞f（x）max，由（1）知f（x）的最大值为，，
所以，解得，
因此实数a的取值范围为．
27．【解答】解：（1）由题意，可得不等式．
证明：由，
因为b＞a＞0，m＞0，可得a﹣b＜0，b+m＞0，
所以，即．
（2）由，
由（1）中的结论，可得，即M＞N．
（3）证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，
由（1）中的结论，可得，
所以①，
又由，同理可得：，
则，
由①可得：，
所以＞3﹣2＝1，即②，
综合①②，得．
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