2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期12月月考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y=0的倾斜角为( )
A. 45∘B. 60∘C. 90∘D. 135∘
2.点(5,−3)到直线x+2=0的距离等于
A. 7B. 5C. 3D. 2
3.若直线x−ay+1=0与直线2x+y=0垂直，则a的值为( )
A. 2B. 1C. −12D. −1
4.抛物线y2=−8x的焦点F到准线l的距离为( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
5.如图，在四面体O−ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则OE可用向量a,b,c表示为( )
A. 12a+12b+12cB. 12a+14b+14c
C. 14a+12b+14cD. 14a+14b+12c
6.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0).过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点.若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为( )
A. x216+y215=1B. x28+y27=1C. x23+y24=1D. x24+y23=1
7.已知直线l：kx−y+1−k=0和圆C：x2+y2−4x=0，则直线l与圆C的位置关系为( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
8.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知抛物线C:y2=2pxp>0过点A2,2，点B为平面直角坐标系平面内一点，若线段AB的垂直平分线过抛物线C的焦点F，则点B与原点O间的距离的最小值为( )
A. 2B. 2C. 52D. 3
10.均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线C上任意一点Px,y，若将曲线C纵向均匀压缩至原来的一半，则点P的对应点为P1(x,12y).同理，若将曲线C横向均匀压缩至原来的一半，则曲线C上点P的对应点为P2(12x,y).若将单位圆x2+y2=1先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的13，得到的曲线方程为( )
A. x24+y29=1B. x29+y24=1C. 4x2+9y2=1D. 9x2+4y2=1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点M(1, 3).则圆O的方程为 ；若直线 3x+y−2=0与圆O交于两点A，B，则弦长|AB|= ．
12.写出一个离心率e=2且焦点在x轴上的双曲线的标准方程 ，并写出该双曲线的渐近线方程 ．
13.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若▵F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于 ．
14.P为抛物线y=2x2上一动点，当点P到直线2x−y−4=0的距离最短时，P点的坐标是 ．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AD1和B1C1上．
给出下列四个结论：
①MN的最小值为2；
②四面体NMBC的体积为43；
③有且仅有一条直线MN与AD1垂直；
④存在点M，N，使▵MBN为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1．
(1)求直线A1E与BC1所成角的余弦值；
(2)求二面角A1−EC−D的余弦值．
17.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为P(0,1)，且离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l:y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|=|PB|，求m的值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=120∘，PD=AD=2.点M在PB上，且PB⊥平面ACM．
(1)证明：AC⊥BD；
(2)求PMPB的值；
(3)求点M到平面PAD的距离．
19.(本小题12分)
椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0，经过点A0,−1，且离心率为 22．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆E交于，PQ两点，点M2,0，O为坐标原点，证明：∠OMP=∠OMQ．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.B
10.C
11.x2+y2=4 ； ； ； ； ；
；2 3
12.x2−y23=1(答案不唯一)；y=± 3x
13. 2−1
14.12,12/0.5,0.5
15.①②④
16.解：(Ⅰ)根据题意，以D为原点，DA, DC, DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，C1(0,3,2)．
所以A1E=(0, 1, −2)，BC1=(−2, 0, 2)．
所以cs⟨A1E,BC1⟩=A1E⋅BC1|A1E||BC1|= 105．
所以直线A1E与BC1所成角的余弦值为 105．
(Ⅱ)因为EC=(−2, 2, 0)．
设平面A1EC的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅A1E=0,m⋅EC=0,即y−2z=0,−2x+2y=0.
令y=2，则x=2，z=1．
于是m=(2,2,1)．
显然DD1=(0, 0, 2)是平面ABCD的一个法向量．
因为cs〈DD1,m〉=DD1⋅m|DD1| |m|=13，
所以二面角A1−EC−D的余弦值为13．
17.解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c．
由题意得 b=1 ,ca= 32 ,a2=b2+c2,
解得a=2，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(Ⅱ)由 y=x+m,x24+y2=1得5x2+8mx+4(m2−1)=0，
由Δ=(8m)2−4×5×4(m2−1)>0，解得− 50，
x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，
则kMP+kMQ=y1x1−2+y2x2−2=kx1−1x1−2+kx2−1x2−2，
=kx1−1x2−2+kx2−1x1−2x1−2x2−2，
=2kx1x2−3kx1+x2+4kx1−2x2−2，
=2k2k2−2−12k3+4k2k2+12k2+1x1−2x2−2=0，
则∠OMP=∠OMQ；
当直线PQ斜率不存在时，PQ垂直x轴，
由对称性易知∠OMP=∠OMQ，
综上，∠OMP=∠OMQ．