山东省聊城市2025届高三上学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省聊城市2025届高三上学期期中教学质量检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则( )
A.1B.3C.6D.9
3．已知a,b,,,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
4．已知,,则( )
A.B.C.D.
5．若向量,,则“”是“”( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．在中,,,其外接圆的圆心为O,则的最小值为( )
A.4B.C.16D.
7．设,若为的最小值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．若函数的定义域为,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．数列中,记为数列的前n项和,为数列的前n项积,若,,则( )
A.B.
C.数列是单调递增数列D.当取最大值时,或
10．若函数,则( )
A.
B.当时,函数在区间上单调递增
C.当时,将图象向左平移个单位后得到的图象
D.当函数在上恰有2个零点和2个极值点时,的取值范围是
11．若点,是函数图像上的两点,则( )
A.对任意点A,存在无数点B,使曲线在点A,B处的切线的倾斜角相等
B.当函数存在极值点时,实数a的取值范围为
C.当且在点A,B处的切线都过原点时,
D.当直线AB的斜率恒小于1时,实数a的取值范围为
三、填空题
12．函数的最小正周期为______.
13．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定:排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为,现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理,处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位:）与处理时间t（单位:分钟）满足关系式:,那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据:,,结果取整数）
14．设,若,,使得对恒成立,则的取值范围是______.
四、解答题
15．已知函数在处取得极小值.
（1）求m,n的值;
（2）若函数有3个不同零点,求实数的取值范围.
16．记的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.
（1）求A;
（2）若的面积为,求.
17．函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,可以将其推广为:函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数,已知函数.
（1）证明:函数的图象关于点成中心对称图形;
（2）判断函数的单调性,若,求实数t的取值范围.
18．数列中,若,使得,都有成立,则称数列为“三合定值数列”,已知,,.
（1）求,,;
（2）设,证明:数列为等比数列,并求;
（3）设,求数列的前n项和.
19．设函数,已知曲线在点处的切线方程为.
（1）求b的值;
（2）讨论函数的单调性;
（3）若对恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由,可得,,
故,
故选:C
2．答案：B
解析：由,可得,
则.
故选:B.
3．答案：C
解析：取,,满足,但,故A错误;
取,,满足,但是,故B错误;
因为在R上单调递减,由可得,故C正确;
取,,,满足,但是,故D错误;
故选:C
4．答案：A
解析：因为,且,
则,
又,
所以.
故选:A
5．答案：B
解析：因,,
由,可得,解得或.
由“”可推出“或”成立,
而由“或”推不出“”成立,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选:B.
6．答案：D
解析：因为,,
所以,所以,
因为O为外接圆圆心,
过O作于D,则D为中点,
所以,
同理可得,
所以,
又因为,
所以,
所以
当且仅当,即,时,等号成立.
故选:D.
7．答案：A
解析：当时,,对称轴为,
当时,即,,
当时,即,,不符合题意,所以,
当时,,则,
令,则,
当时,,则单调递减,
当时,,则单调递增,
则是函数的极小值点,
又为的最小值,则满足,
即,解得,又,
所以实数a的取值范围是.
故选:A
8．答案：C
解析：由,
可得,
当时,数列是公差为2的等差数列,首项为,
所以,
所以,
所以.
故选:C.
9．答案：ABD
解析：由,得,即首项为16,公比为的等比数列,
所以,正确;
,正确;
,故数列是单调递减数列,错误;
因为首项为16,公比为的等比数列,单调递减,,所以当取最大值时,或,正确;
故选:ABD
10．答案：BC
解析：由函数整理得:
,
所以,故A错误;
当时,函数,由,可得:,
根据正弦函数在区间单调递增,
可知函数在区间上单调递增,故B正确;
当时,函数,
将图象向左平移个单位后得到:,
此时满足题意,故C正确;
当时,,
为了使得函数在上恰有2个零点和2个极值点,
只需要满足,解得,故D错误;
故选:BC.
11．答案：ACD
解析：对于A,因为,
要使,则,
得,,
所以,,即对任意,x的值有无数个,故A正确:
对于B,,令,则,
且,则,即,
又,则,故B错误;
对于C,曲线在点A,B处的切线都过原点,
由,则点A,B均不与原点重合,设曲线在处切线的斜率为,
则,由切线过原点,
则切线即直线的斜率,
所以,化简得,
若时,则,这与矛盾,
故,所以有,
同理可得,
所以由,得,故C正确.
对于D,对于任意点A,B,直线AB的斜率恒小于1,
则,即,
所以在上是减函数,
所以恒成立,
设,,且,
所以要使恒成立,则,即,故D正确;
故选:ACD
12．答案：
解析：小正周期为,
故答案为:.
13．答案：16
解析：由题意得,
即,
故,
因为,,
所以,
故,
所以从现在起至少经过16分钟,才能达到排放标准.
故答案为:16
14．答案：
解析：由,可得,
令,可得,所以,
当时,在R上单调递减,无最大值,不符合题意,
当时,方程解为,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以,
因为,,使得对恒成立,
所以,所以,
所以,
令,求导可得,
当,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
所认
所以,
所以的取值范围是.
故答案为:
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）,
,,
解得,,
故,
,
令得或,
令得,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
故为极小值点,满足要求;
（2）由（1）知,在,上单调递增,在上单调递减,
且,,
故的极大值为,极小值为,
又x趋向于时,趋向于,当x趋向于时,趋向于,
综上,要想有3个不同零点,即有3个不同的实数根,
即与有3个不同的交点,
所以.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以由正弦定理得,
化简得,
因为,即,所以,
得,因为,
所以,又,
所以.
（2）由（1）知,又的面积为,
所以,即,
由余弦定理可得,
所以,,,即
由正弦定理得,,
所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）单调递增,
解析：（1）令,定义域为R,则,故为奇函数,
因此为奇函数,故的图象关于点成中心对称图形,
（2）由于,,均为单调递增函数,故为定义域内的单调递增函数,
由于,且为单调递增函数,故单调递增,
故由可得,
即,
故,解得
18．答案：（1）,,.
（2）证明见解析,
（3）
解析：（1）因为,所以,且,
则,即,解得,
又,即,解得,
又,即,解得,
所以,,.
（2）因为,则,
且,即,所以,
即,又,则,
所以数列是以2为首项,以为公比的等比数列,
所以,即,
所以①,,
则②,,
两式相减可得,
即的奇数项为等差数列,且,
令,则,所以（为奇数）,
又③,
由③①可得,,
所以的偶数项为等差数列,且,
令,则,即,
综上所述,.
（3）因为,当n为奇数时,,
当n为偶数时,,
综上,,
则,
,
两式相减可得,
,
,
,
,所以.
19．答案：（1）.
（2）当时,在区间上单调递增,
当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,
当时,区间上单调递减,在区间上单调递增.
（3）
解析：（1）由题意,可得
（2）由题意的定义域为,
,
当时,,故在区间上单调递增,
当时,令得,
当时,,当时,,当时,,
故在区间上单调递增,在区间上单调递减,
当时,,当时,,
故在区间上单调递增,
当时,,当时,,当时,,
故在区间上单调递减,在区间上单调递增,
综上所述:
当时,在区间上单调递增,
当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,
当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（3）由得,即,
设,则由题意在上恒成立,
,设,
则,
若时,,
当时,,,故,
故在区间上单调递增,故,即,
故在区间上单调递增,故,满足题意.
若,设,则,
则在区间上单调递增,故使当时,,
因,故在区间上,即,
故在区间上单调递减,故在上,不符合题意
综上可知,实数a的取值范围为.