山东省聊城市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学试题

这是一份山东省聊城市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学试题，共15页。试卷主要包含了答题前，考生务必用0，第Ⅱ卷必须用0，整数除以7，所得余数为，直线，设等差数列的前项和为，已知等内容，欢迎下载使用。

审题人：莘县实高 李存才 罗增交
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.设，则（ ）
A.1B.-1C.D.
3.直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
4.已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法：
①若，，，则②若，，，则
③若，，，则④若，，，则
其中所有正确的序号为（ ）
A.②④B.③④C.④D.①③
5.整数除以7，所得余数为（ ）
A.1B.3C.5D.6
6.直线：（）与圆：相交于、两点，下列说法正确的个数为（ ）
①直线过定点②时，弦最长
③时，为等腰直角三角形④时，弦长为
A.3B.2C.1D.4
7.最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A.B.C.D.
8.设等差数列的前项和为，已知：，，则下列结论正确的是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化.一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高（单位：）的情况，得出，则下列说法正确的是（ ）
A.该地植被株高的均值为100
B.该地植被株高的方差为10
C.若，则
D.随机测量一株植被，其株高在以上的概率与株高在以下的概率一样
10.已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.函数在区间上单调递增
C.将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
D.函数的图象关于直线对称
11.下列说法中正确的是（ ）
A.函数的最小值为4
B.若，则的最小值为4
C.若，，，则的最大值为1
D.若，，且满足，则的最小值为
12.正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（ ）
A.直线平面
B.若，则，且直线平面
C.若，则到直线的距离的最小值为
D.若，则与平面所成角正弦的最小值为
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围：______.
14.每年9月第三个星期六是我国法定的全民国防教育日，同学们积极参与到国防教育之中为实现中国梦、强军梦凝聚强大力量.某校国防教育活动中拟将7本不同的国防知识书分给甲、乙、丙三个班，其中一个班得3本，另外两个班每班得2本；则共有______种不同的分配方式.（请用数字作答）
15.函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是______.
16.椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为12；
②椭圆上存在点，使得；
③椭圆的离心率为；
④为椭圆：上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为4.
其中正确的序号有______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）设，，求的周长.
18.（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求证：.
19.（本小题满分12分）
如图，梯形中，，，平行四边形的边垂直于梯形所在的平面，，，是的中点，
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
乒乓球起源于英国的19世纪末，因为1959年的世界乒乓球锦标赛，中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军，而使国人振奋，从此乒乓球运动在中国风靡，成为了事实上中国的国球的体育项目.国球在校园中的普及也丰富了老师、同学们的业余生活.某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区共建活动.共建活动共分3批次进行，每次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选.已知这5名选手中，2人有比赛经验，3人没有比赛经验.
（1）求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（2）求第二次抽选时，选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人？请说明理由；
（3）现在需要2名乒乓球选手完成某项特殊比赛任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位选手不能赢得比赛，则再派另一位选手.若有、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且，各人能否完成任务相互独立.试分析以怎样的顺序派出选手，可使所需派出选手的人员数目的数学期望达到最小.
21.（本小题满分12分）
已知函数（）.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，椭圆与双曲线有共同的焦点，点是椭圆上任意一点，则的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点，使得，则当直线转动时，点在某一定直线上运动，求该定直线的方程.
2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
8.解析：函数是上的奇函数，且单调递增，
由题意：，
两式相加得：
∵是上的奇函数，
∵在上单调递增，
∵等差数列的前项和为.
∵，，
∵在上单调递增，即，故选D.
12.解析：对于A项，如图，连结，.
因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，，所以平面.
又平面，所以.
同理可得，.
又平面，平面，，所以平面.故A项正确；
对于B项，由A项可知：平面.
又，平面，所以直线平面，故B项正确；
对于C，因为，所以在以为球心，为半径的球上.
又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上.
因为平面，，，
所以，
所以为以点为圆心，为半径的圆上.
如图，，则，到直线的距离的最小值为，故C项错误；
对于D项，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，.因为，设，（），.
设是平面的一个法向量，则，即，
取，则，是平面的一个法向量.
则，
又，当时，有最小值1，
所以，，即，
所以，与平面所成角正弦的最大值为，故D项错误；故选AB.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 14.630 15. 16.①②④
15.解析：，
由已知对任意，都有成立，即在上是减函数，
故需满足，解得，即.
16.解析：由椭圆得，，，
①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故①正确；
②因为，所以以原点为圆心以为半径的圆交轴于椭圆的外部，
所以存在点，使得，即使得，故②正确；
③椭圆的离心率为，故③错误；
④因为为椭圆上一点，设，，
则点到圆心的距离为
则其最大值为3，所以最大值为：，故④正确；
故填①②④.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
解：（1）由及正弦定理，
得，即，
所以.
因为，所以.
（2）∵，∴，∴
∵，∴，
∴，∴的周长为.
18.（本小题满分12分）
解：（1）设等差数列的公差为，
∵，∴，解得
所以，
（2），
则，
所以
所以.
19.（本小题满分12分）
解：（1）∵平行四边形的边垂直于梯形所在的平面，而在平面内，
则，又因为，∴为正方形
∵垂直于梯形所在的平面，，∴平面
∵平面，∴
在直角梯形中，，，
则，，
在中，，∴
∵，与平面，
∴平面
又∵面，∴平面平面
（2）由（1）知平面
∵平面，∴，
∴，，三线两两垂直，故以为原点，
、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系：
则，，，
则，，
设为平面的法向量，
，即，
取
取平面的法向量为，
设二面角的大小为，则，
∴
20.（本小题满分12分）
解：（1）5名选手中的“1号选手”在每轮抽取中，
被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“1号选手”恰有一次被抽取到的概率为.
（2）第二次抽取到的没有比赛经验的选手人数最有可能是1人.
设表示第二次抽取到的无比赛经验的选手人数，可能的取值有0，1，2，
则有：，
，……
（法一）因为，
故第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人.
（法二）∵
∴第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人.
（3）按照先后的顺序所需人数期望最小.
由题意：
设表示先后完成任务所需人员数目，则
设表示先后完成任务所需人员数目，则
，∵
∴故按照先后的顺序所需人数期望最小.
21.（本小题满分12分）
解：（1）当时，.
，切点为，
，切线斜率
所以曲线在处的切线方程为：
（2）由题意，函数（）的定义域为，
可得，（）
①当时，可得，当时，，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增；
②当时，可得在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
③当时，当时，；
当时，；
当时，，
所以在递减，在，递增；
④当时，当时，；
当时，；
当时，，
所以在递减，在，递增.
综上，当时，在递减，在递增；
当时，在上单调递增；
当时，在递减，在，递增；
当时，在递减，在，递增.
22.（本小题满分12分）
解：（1）点是椭圆上任意一点，则的最大值为：，所以.
又与双曲线有共同的焦点，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率必存在.
故可设直线的方程为，
，，由，
消去得，
由根与系数的关系得，，
由，得
所以.所以，
设点的坐标为，由，得，
所以，解得.
而，
，所以.故点在定直线上.
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
B
B
D
A
题号
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
AC
BC
BCD
AB
1
2
1
2
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