山东省滕州市第一中学2025届高三上学期12月定时检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省滕州市第一中学2025届高三上学期12月定时检测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，集合，则集合( )
A.B.C.D.
2．复数方程解的个数为( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
3．已知非零向量,,若向量在方向上的投影向量为,则( )
A.B.C.2D.4
4．已知角的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边经过点,则( )
A.B.C.D.
5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
6．已知函数，在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数，若时，取极值0，则的值为( )
A.3B.18C.3或18D.不存在
8．已知点是椭圆的左、右焦点,点M为椭圆B上一点,点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上,若,则椭圆B的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，，，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.是数列中的最大值
D.数列无最大值
10．已知函数，下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.点为图象的一个对称中心
C.若在上有两个实数根，则
D.若的导函数为，则函数的最大值为
11．如图，在直三棱柱中，，，Q是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.直线与所成角的正切值的最小值是
C.在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
D.的最小值为
三、填空题
12．函数图象的对称中心的坐标为________.
13．已知直线与圆相交于M,N两点,则的最小值为________.
14．在三棱锥中，与中点分别为M，N，点G为中点若D在上满足，E在上满足，平面交于点F，且，则__________.
四、解答题
15．如图,已知在正三棱柱中,,且点E,F分别为棱,的中点.
（1）过点A,E,F作三棱柱截面交于点P,求线段长度;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角C为钝角，求的取值范围．
17．已知椭圆C的中心在坐标原点,两个焦点分别为,,点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）已知直线l与椭圆C交于M、N两点,且,求面积的取值范围.
18．已知数列满足,公差不为0的等差数列满足,,成等比数列,
（1）证明:数列是等比数列.
（2）求和的通项公式.
（3）在与之间从的第一项起依次插入中的k项,构成新数列,,,,,,,,,,…求中前60项的和.
19．设是定义域为D且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”.
（1）判断是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；
（2）已知，是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求m的取值范围；
（3）设，函数.设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为.若，且，，求的最小值.（参考数据：）
参考答案
1．答案：D
解析：因为，，
所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：设,则,,
因为,即,
所以,解得或或,共4组解,
即复数方程解的个数为4个.
故选:A
3．答案：A
解析：因为非零向量,,
所以,,,
所以向量在方向上的投影向量为,
所以,解得.
故选:A
4．答案：A
解析：因为,,所以角的终边经过点,
所以,所以,
所以,
故选:A.
5．答案：C
解析：作出圆锥及其内切球的轴截面如图所示，O为内切球的球心，F为圆锥底面圆的圆心，D，E为切点，由已知条件可知.
设内切球半径为r，由内切球的表面积为，得，
即.而，在中，，
所以.在中，，
所以圆锥的体积.故选C.
6．答案：B
解析：由题知当时，单调递增，所以，解得；
当时，单调递增，所以恒成立，
即恒成立，所以；
因为在R上单调递增，所以当时，，
所以a的取值范围是.
故选：.
7．答案：B
解析：由，得时，取得极值0，所以，解得或，当时，，此时函数在在处取不到极值；经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；所以，所以.
8．答案：C
解析：点关于的角平分线的对称点N必在上,因此M,,N,共线,,
,设,则,,,
又,,
中,由余弦定理得:,
,化简得,
,,
中,,
由余弦定理得,解得,
故选:C.
9．答案：ABC
解析：对于A，由可得，（*），
由，可得.
当时，因，则，，即（*）不成立；
当时，，，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C，D，由上分析，，且，则是数列中的最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：由题意可得，故A正确；
，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点，
数形结合可得，故C正确；
设为的导函数，
则，其中，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A选项，如下图所示，连接交于点E，连接，
因为四边形为平行四边形，则E为的中点，
又因为Q为的中点，则，
因为平面，平面，
则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B选项，因为平面，，
以点C为坐标原点，、、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
由，
则、、、、，
设，
其中，
则，
设直线与所成角为，
所以，
当时，取最大值，
此时，取最小值，取最大值，
此时，，
，
所以，直线与所成角的正切值的最小值是，故B正确；
对于C选项，因为，，
则，
的内切圆半径为
由于直径，
所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，
而表面积为的球，其半径为：，
因为，
所以这个直三棱柱内部不可以放入半径为的球，故C错误；
对于D选项，点关于平面的对称点为，则，
，，
所以，，
则，
因为平面，，
则平面，
因为平面，则，
将平面和平面延展为一个平面，如下图所示：
在中，，，，
由余弦定理可得
，
当且仅当，P，E三点共线时，取最小值，
故的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：函数的定义域为,
又,
所以函数图象的对称中心的坐标为.
故答案为:
13．答案：4
解析：圆的圆心为,半径,
直线,即,令,解得,
所以直线恒过点,又,
所以当时,弦的长度取得最小值,即,
设的中点为D,则,
所以.
故答案为:4.
14．答案：
解析：由条件可知，,
因为，，，
所以，
因为点G，D，B，F四点共面，
所以，
解得：
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正三棱柱中,,
又因为点E,F分别为棱,的中点,可得,
如图所示,延长交的延长线于M点,
连接交于点P,则四边形为所求截面,
过点E作的平行线交于N,
所以
因此,所以,.
（2）以点A为原点,以,所在的直线分别为y,z轴,
以过点A垂直于平面的直线为x轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
因为,可得,,,
则,,
设平面的法向量为,则
取,则,,所以,
取的中点D,连接.因为为等边三角形,可得,
又因为平面,且平面,所以,
因为,且,平面,所以平面,
又由,可得,
所以平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为,
则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
所以由余弦定理可得：，
由正弦定理得：，
又因为
则有，
因为，所以，则，
因为，所以
由余弦定理得：，
因为，所以，解得，
所以的面积
(2)因为C为钝角，所以，
解得，由正弦定理，
得，且
代入化简得：
因为，所以，
即，所以的取值范围是
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆标准方程为:,
由题意:,
所以椭圆C的标准方程为:.
（2）如图:
若直线的斜率不存在,则可取,因为,可取,此时.
若直线的斜率为0,同理可得.
当直线的斜率存在且不为0时,设直线的方程为,
由,得,则,
用代替k,得,则.
所以.
设,
则.
因为,所以,,
所以,所以.
综上,
18．答案：（1）证明见解析
（2）,
（3）3326
解析：（1）数列中,,
则,而,
所以数列是等比数列,其首项为,公比为4;
（2）由（1）知,,,
所以数列的通项公式为.
设等差数列的公差为,
由,,成等比数列,得,
即,则有,
又,即,于是,
所以数列的通项公式为;
（3）依题意,数列中,前有数列中的前k项,有数列中的前项,
因此数列中,前共有项,
当时,,
当时,,
因此数列的前60项中有数列中的前10项,有数列中的前50项,
所以
.
19．答案：（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）由，求导可得，；
令，则有，所以在R上单调递增，
又，所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以不是山峰函数.
（2）由题意可知：函数在区间上先增后减，且存在峰点，由于，又当时，，
则在上单调递减，所以，
设，，
所以，则在上单调递增.
所以当时，，即此时恒成立：
由于当时，不等式等价于，即，
故m的取值范围是.
（3）由题意得：
.
若恒成立，易知当时，，当时，，则函数在上单调递减，在单调递增，
不是山峰函数，不符合题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，
设两根为，且，且有；
由于当时，，且，，
所以函数在上不单调；
同理，由于当时，，且，
所以在上不单调，从而有，.
因此在和上单调递减，在和上单调递增；
从而函数的峰值区间为，必满足.
所以.
由于，，
，
由题意知n满足不等式组：，
由于当时，满足上述不等式组，则有，
即的最小值为.