2022-2023学年山东省聊城市高三上学期期末检测数学试卷（word版）

聊城市2022-2023学年高三上学期期末检测

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则(   )

A． B． C． D．

2．设复数z满足，其中i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于(   )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知，，a与的夹角为，则(   )．

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知不等式的解集是，则不等式的解集为(   )

A． B．或 C． D．或

5．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅衣发展．某校高一新生中的5名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑倶乐部”“篮球之家”“围棋苑”4个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法种数为(   )．

A．72 B．108 C．180 D．216

6．函数，的单调递增区间是(   )

A． B． C． D．

7．在区间上，函数与在处取得相同的最小值，那么在区间上的最大值是(   )

A．12 B．11 C．10 D．9

8．已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是(   )．

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．关于函数，下列描述正确的有(   )．

A．函数在区间上单调递增

B．函数的图象关于直线对称

C．若，但，则

D．函数有且仅有两个零点

10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是(   )

A．  B．

C．  D．的面积为

11．已知四棱雉的顶点都在球心为O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，设E，F分别是PB，BC的中点，则(   )．

A．平面平面PCD

B．四棱锥的外接球的半径为

C．P，B，C三点到平面AEF的距离相等

D．平面AEF截球O所得的截面面积为

12.已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则(   )

A.椭圆C的离心率为

B.存在m，使为直角三角形

C.存在m，使的周长最大

D.当时，四边形FBEA的面积最大

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数在R上为增函数，则a的取值范围为_______．

14．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为_________．

15．某公司招聘5名员工．分给下属的甲、乙两个部门．其中2名英语翻译人员不能分给同一部门．另3名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是________．

16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）记的内角的对边分别为．已知．

(1)求A;

(2)从下面的三组条件中选择一组作为已知条件,使得存在且唯一确定,求的面积．

①;②;③边上的高．

18．（12分）已知数列的前n项和为．

(1)记，证明：是等差数列，并求的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．

19．（12分）如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且．

(1)设M是线段上一点，且．试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；

(2)求二面角的余弦值．

20．（12分）当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）情况，如表所示．

（1）根据5月至9月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0．001），并判断相关性；

（2）求出y关于t的回归直线方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1．5万元，请说明理由．

附：①相关系数公式：．（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）

②一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

③参考数据：．

21．（12分）如图，已知为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记，的面积分别为，．

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时点G的坐标．

22．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，讨论函数在上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意的s，，有．

参考答案

1．答案：A

2．答案：D

3．答案：B

4．答案：B

5．答案：C

6．答案：B

7．答案：B

8．答案：A

9．答案：ABD

10．答案：ACD

11．答案：BCD

12.答案：BD

13．答案：

14．答案：

15．答案：12

16．答案：13

17．答案：(1)

(2)若选①,无解;若选②,;若选③,

解析：本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用．

(1)已知,

由正弦定理得,

化简得．

因为,所以,因为,所以．

(2)若选①:．由正弦定理得,

无解．

若选②:．已知,则,此时存在且唯一确定,此时．

若选③:边上的高．可得,解得．又,由余弦定理可得,解得或(舍去),此时存在且唯一确定．．

18．答案：(1)证明过程见解析，．

(2)n为5．

解析：(1)由，得，

即，

．

即，

又，

数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

．

(2)由(1)知．

，①

，②

①-②，得

，

，

是递增数列，

，

使不等式成立的最大正整数n为5．

19．答案：(1)存在，．

(2)余弦值为．

解析：(1)取的中点P，连接CP交于点M，点M即为所求．

证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是的中点，所以，

又平面MNC，平面MNC，

所以直线平面MNC．

因为，所以．

所以．

(2)连接AC．

由(1)知．

又平面ABCD，所以平面ABCD．

因为，四边形ABCD是菱形，

所以为正三角形，所以．

以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

又，所以，

所以点，

则．

设平面的法向量，

则即

令，得．

设平面的法向量，

则即

令，得，

所以，

由图易得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

20．答案：（1）所求线性相关系数为

（2）y关于t的回归直线方程为，10月收入从预测看不能突破1．5万元

解析：（1）由5月至9月的数据可知

，

，

，

，

，

所以所求线性相关系数为

．

因为相关系数的绝对值，

所以认为y与t具有很强的线性相关关系．

（2）由题得，

，

所以，

所以y关于t的回归直线方程为．

当时，，

因为，所以10月收入从预测看不能突破1．5万元．

21．答案：（1），

（2）当时，取得最小值，此时

解析：（1）由题意得，即．

所以抛物线的准线方程为．

（2）设，，，重心．令，，则．由于直线AB过F，故直线AB的方程为，代入，得，故，即，所以．又由于，及重心G在x轴上，故，

得，．

所以直线AC的方程为，

得．

由于Q在焦点F的右侧，故．

从而

．

令，则，

．

当时，取得最小值，此时．

22．答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）在上单调递增

（Ⅲ）见解析

解析：（Ⅰ）由题，，
故，，
因此，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ）解法一：，
则，

设，，
则，

故在上单调递增，

故，
因此对任意的恒成立，
故在上单调递增．

解法二：，
则，
又，当时，，
故对任意的恒成立，
故在上单调递增．

（Ⅲ）设，
则，
由（Ⅱ）知在上单调递增，
故当，时，，
因此，在上单调递增，

故，
因此，对任意的，有．