河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．三点，，在同一条直线上，则m的值为( )
A.2B.4C.D.
2．若点在圆的外部，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则( )
A.B.
C.D.
4．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
5．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则( )
A.2B.C.1D.
6．如图，四棱锥的底面为矩形，且，平面，且E为的中点，则( )
A.B.C.D.
7．已知点为直线上的动点，则n的最小值为( )
A.5B.6C.D.
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点，的距离之比为时，则直线被动点M所形成的轨迹截得的弦长为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于空间向量，以下说法正确的是( )
A.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则
B.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线
C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
10．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A.B.
C.D.
11．下列结论正确的是( )
A.已知，O为坐标原点，点是圆外一点，直线m的方程是，则m与圆相交
B.直线与圆恒相交
C.若直线平分圆的周长，则
D.若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是
三、填空题
12．平面内，已知两点，及动点M，若直线，的斜率之积是，则点M的轨迹方程为______.
13．已知圆与圆，则圆M和圆N的一条公切线的方程为_______.
14．在棱长为2的正方体中，点P满足，点Q满足，其中，当________时，.
四、解答题
15．已知的顶点，若边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.
（1）求顶点B的坐标；
（2）求直线的方程.
16．已知，，在圆C上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线，且l与圆C交于点A、B，O为坐标原点，，求直线l的方程.
17．已知椭圆的左，右焦点分别为，，P为椭圆C上一点.
（1）当P为椭圆C的上顶点时，求的大小；
（2）直线与椭圆C交于A，B，若，求k的值.
18．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，.
（1）在上找一点F，使得平面；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点，分别为椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上异于，的动点，，直线与曲线C的另一个公共点为Q，直线与交于点M，求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上.
参考答案
1．答案：D
解析：显然，则，即，解得.
故选：D.
2．答案：C
解析：根据题意有，即，
解之得.
故选：C
3．答案：D
解析：直线，的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，
直线，的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，
所以.
故选：D.
4．答案：C
解析：设动圆圆心为，半径为R
因为圆的圆心为，半径为，
由题有，又动圆过点，得，
即，则到两定点，的距离之和为，
由椭圆的定义可知，点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，
因为，，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为，
故选：C.
5．答案：B
解析：由与两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为，
又圆的标准方程为，记圆心为；
因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点，
因此，所以.
故选：.
6．答案：D
解析：已知点E为中点，
则，
因为平面，平面，所以，又四边形为矩形，所以；
因此
.
故选：D
7．答案：C
解析：表示点到点和点的距离之和，令点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
因此，
当且仅当点P为线段与直线的交点时取等号，
所以n的最小值为.
故选：C
8．答案：D
解析：设，，，则，
整理得，
与直线联立得，所以所求弦长为.
故选：D
9．答案：ACD
解析：对于A，，所以，则，A正确；
对于B，，所以，则直线或者，B错误;
对于C，对空间中任意一点O，有，
即，则
满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；
对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即，
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，
由题有或，
由，得到，此时直线方程为，即，
由，得到，，此时直线方程为，即，
故选：ACD.
11．答案：ABC
解析：对于A，由点在圆外，得，
圆心到直线m的距离，m与圆相交，A正确；
对于B，直线恒过定点，而，
即点在圆C内，因此直线与圆恒相交，B正确；
对于C，圆的圆心为，依题意，点在直线上，
则，解得，C正确；
对于D，依题意，以为圆心，1为半径的圆与圆M相交，而圆M的圆心为，半径为r，
则，又，，解得，D错误.
故选：ABC
12．答案：
解析：设动点M的坐标为，又，，
所以的斜率，的斜率，
由题意可得，
化简，得点M的轨迹方程为.
故答案为：
13．答案：；；（三个任意一个都算正确）
解析：由题可知：，
所以
两个圆的半径和为
所以两个圆外切，所以有三条公切线，
设公切线为
由圆心到切线的距离等于半径得
解得或或
所以切线方程为，或
故答案为：；；
14．答案：1
解析：，又，
所以点P在射线上；
，又，
所以点Q在射线上；
因为当变化时，平面，故只需考虑过B且与平面垂直的线，
因为正方体有平面，而平面，所以
又，，平面，所以平面，
平面，所以，
所以当点Q在上时，即时，
故答案为：1.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设，则，
由已知可得，解得，
所以点B的坐标为.
（2）由已知可设直线的方程为，
又点A在直线上，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
联立直线与方程可得，
C点坐标为.
将B，C坐标代入两点式方程有，
整理可得，.
16．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）设圆C的标准方程为，
因为，，在圆C上，
所以①，
②，
③，
由①②③解得，，，
所以圆C的标准方程.
（2）因为，又直线，不妨设l为，
由，消y得，
则，即，
设，，则，，
所以
，
又，则，又，，所以，
得到，即，解得或（均满足），
所以直线l的方程为或.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为椭圆方程为，则，，，
所以，，，
又，，则，所以.
（2）设，，
由，消y得，
则，
由韦达定理知，，由求根公式可得，
则，化简得到，解得.
18．答案：（1）F为的三等分点，且；
（2）
解析：（1）当F为的三等分点，且时，平面，理由如下，
在上取点H，使，连接，，
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为，即，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，面，所以面面，
又面，所以平面.
（2）因为底面，底面是矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，
又，则，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，，，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）设椭圆C的标准方程为，由短轴长为，得，
由离心率为，得，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，，，而，，
由消去x得：，
，
则，，，
又直线的方程为：，即，
又直线的方程为：，即，
由，
得，
所以当点P运动时，点M恒在定直线上.