河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二上学期10月阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二上学期10月阶段测试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点P的坐标为,点P关于平面Oxz对称的点是( )
A.B.C.D.
2．已知,,且与共线,则的坐标是( )
A.B.
C.D.
3．在三棱柱中,( )
A.B.C.D.
4．若空间中有三点,,,则点到平面ABC的距离为( )
A.B.C.D.
5．已知点,,,又点在平面ABC内,则z的值为( )
A.1B.2C.3D.4
6．如图,二面角等于,A、B是棱l上两点,BD、AC分别在半平面,内,,,且,,则CD的长等于( )
A.B.C.D.
7．已知四棱锥平面BCDE,底面EBCD是为直角,的直角梯形,如图所示,且,,点为AD的中点,则到直线BC的距离为( )
A.B.C.D.
8．棱长为1的正方体中,点P在棱CD上运动,点Q在侧面上运动,满足平面,则( )
A.Q点在侧面对角线上B.Q点在侧面对角线上
C.线段PQ的最小值为D.线段PQ的最小值为
二、多项选择题
9．一组样本数据为6,11,12,16,17,19,31,则错误的选项为( )
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的75%分位数为17
C.该组数据的平均数为16
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据,则这两组数据的平均数可能相等
10．下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中,正确的是( )
A.若两个不重合的平面法向量平行,则这两个平面平行
B.若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行
C.两条不重合直线,的方向向量分别是,,则
D.直线的方向向量,平面的法向量是,则
11．下列说法正确的是( )
A.向量与向量,共面
B.若与,共面,则,,使得
C.若是空间的一个基底,则能构成空间一个基底
D.若,则P,M,A,B共面,反之不正确
三、填空题
12．已知平面的一个法向量为,点是平面上的一点,则点到平面的距离为________.
13．如图,两个开关串联再与开关并联,在某段时间内,每个开关能够闭合的概率都是0.5,能够闭合的概率为0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率为________.
14．空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线l的方程为,阅读上面的材料并解决下面问题:现给出平面的方程为,经过的直线l的方程为,则当a变化时,直线l与平面所成角的正弦值最大时,平面的方程为________.
四、解答题
15．在第29个“世界读书日”到来之际,树人中学举办了读书知识竞赛,现从参加竞赛的同学中,选取100名同学并将其成绩(百分制,均为整数)分成六组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,第6组,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值,并估计这100名学生成绩的第85百分位数（保留一位小数）;
（2）若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人,然后再从抽出的5人中任意选取2人,调查其读书情况,求此2人得分不在同一组的概率.
16．如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AP的长为2,且与、的夹角都等于,M在棱PD上,,设,,.
（1）试用,,表示向量;
（2）求与的夹角.
17．如图,在长方体中,,,.
（1）证明:平面;
（2）求到平面的距离.
18．如图1,等腰中,底,,D、E分别为AB、AC的中点,O为DE的中点,将沿DE折起到的位置,使得平面平面BCED,如图2.
（1）求证:平面BCED;
（2）F为线段上靠近的三等分点,求平面BDF与平面BCED夹角的余弦值.
19．如图,已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,,且底面ABCD,点P、Q分别是棱,的中点.
（1）在底面ABCD内是否存在点M,满足平面CPQ?若存在,请说明点M的位置,若不存在,请说明理由;
（2）设平面CPQ交棱于点T,平面CPTQ将四棱台分成上,下两部分,求CT与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：在空间直角坐标系中,关于平面Oxz的对称点的特征为x,z坐标不变,y取相反数,
因为点P的坐标为,所以点P关于平面Oxz对称的点是.
故选:C.
2．答案：B
解析：因为,,且与共线,
所以,解得,
所以.
故选:B.
3．答案：C
解析：如图所示根据题意知
又因三棱柱,所以可知平面都是矩形,则,
所以,
根据向量的平行四边形法则可得
故选:C
4．答案：D
解析：,,,
设平面ABC的一个法向量为,
由得,令得,,
所以,
则点到平面ABC的距离为.
故选:D.
5．答案：C
解析：,,,
由于,所以A,B,C三点不共线,
可得,
即
可得,解得.
故选:C.
6．答案：A
解析：由二面角的平面角的定义知向量,
所以,
得,
由,得,,
因为,
所以,
可得.
故选:A.
7．答案：A
解析：由题意知,平面EBCD,BE,平面EBCD,
所以,,又,
故以E为原点,EB,ED,EA所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,
则,,,,得
所以,,
记,,
则,,
所以F到直线BC的距离为.
故选:A
8．答案：D
解析：如图建立以D为坐标原点空间直角坐标系,
设,,,则,,,
所以,,,
因为平面,
所以,可得,
由可知Q点在侧面对角线或上,故AB不一定正确;
,可得,
所以
,
故当时,,故D正确.
故选:D
9．答案：ACD
解析：对于A,根据极差定义,该组数据的极差为,故A正确;
对于B,因为,所以该组数据的分位数为,故B错误;
对于C,该组数据的平均数为,故C正确;
对于D,若该组数据去掉得到一组新数据,
则新数据6,11,12,17,19,31的平均数为,
所以这两组数据的平均数相等,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A,因为两个不重合的平面法向量平行,
则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面,
即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面,
所以这两个平面平行,故正确;
对于B,因为两直线的方向向量不平行,所以这两直线不平行,故正确;
对于C,因为,
所以,所以,故正确;
对于D,因为,,
所以,
所以,
所以或,故错误.
故选:ABC.
11．答案：AB
解析：对于A,令,则,
解得,可得,故A正确;
对于B,若与,共面,则,使得,故B正确;
对于C,因为,,是空间的一个基底,所以,,不共面,
假设,,共面,则存在实数m,n,使得
,即,
解得,,所以假设成立,
所以不能构成空间一个基底,故C错误;
对于D,若,则P,M,A,B共面,反之也正确,故D错误.
故选:AB.
12．答案：
解析：由题意可知,
根据点P到平面的距离为.
故答案为:
13．答案：0.775/
解析：由题意,开关,在某段时间均正常工作的概率,
开关在某段时间正常工作的概率,
这段时间内线路正常工作的概率为:.
故答案为:0.775.
14．答案：
解析：由题设知:平面的法向量,直线l的方向向量,
且平面与直线l相交于,
所以直线l与平面所成角的正弦值为
,
对于二次函数,其是图象一条开口向上的抛物线,对称轴为,
当时,函数取到最小值,且最小值为,
此时直线l与平面所成角的正弦值取到最大值,最大值为,
对应平面的方程为.
故答案为:.
15．答案：（1）,90.4
（2）
解析：（1）由频率分布直方图可得:
,解得;
因为成绩在的频率为,
所以,第85百分位数位于,
设其为x,则,
解得,所以,第百分位数约为.
（2）由频率分布直方图可知:得分在和内的频率分别为0.04和0.06,
采用分层抽样知,抽取的5人,在内的人数为2人,在内的人数为3人,
设分数在内的2人为,,分数在内的3人为,,,
则在这5人中抽取2人的情况有:
,,,,,,,,,,共有10种情况,
其中得分不在同一组的2人有:,,,,,,有6种情况,
所以概率为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）
;
（2）因为,,
,
所以
,
所以,
因为,
所以与的夹角为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在长方体中,以D为坐标原点,
向量,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
所以,,,
,,
所以,,又因,
平面,平面,
所以平面;
（2）设平面的法向量为,到平面的距离为d,
由,,
所以,令,
可求得,则,
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,O为DE的中点,所以,
因为平面平面BCED,平面平面,
平面,所以平面BCED;
（2）如图,由（1）知平面BCED,取BC的中点M,连接OM,则,
以O为坐标原点,OM,OE,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
因为,,所以,
可得,,,,,
由得,
则,,
设为平面BDF的一个法向量,
则,即,令,则,,
所以,
为平面BCED的一个法向量,
所以,
由图可得平面BDF与平面BCDE夹角的余弦值为.
19．答案：（1）存在点
（2）
解析：（1）因底面ABCD,且ABCD是正方形,故可以点A为坐标原点,
分别以AB,AD,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,,,
因点P、Q分别是棱,的中点,则,,
,,
假设在底面ABCD内存在点,使得平面CPQ,则
则由,解得,
故存在点,满足平面CPQ;
（2）按照（1）建系,设点,
依题意,C,P,T,Q四点共面,故必有,
即,则得,,解得,
即,又,,
设平面的法向量为,则,
故可取.因,
设CT与平面所成角为,则.
即CT与平面所成角的正弦值为.