河北省张家口市2024-2025学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)

这是一份河北省张家口市2024-2025学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知是一个平面，a，b是两条不同的直线，，，，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知，是椭圆的两个焦点，点，则( )
A.B.C.D.
4．若复数，满足且，则( )
A.5B.C.D.10
5．已知单位向量与的夹角为，若，则( )
A.B.C.D.1
6．已知等差数列的前n项和为，且，，则取最大值时n的值是( )
A.4B.5C.6D.10
7．已知函数在区间上单调，且，则函数在区间上( )
A.单调递增B.单调递减
C.最大值为1D.最小值为-1
8．已知函数恰有2个零点，则实数a( )
A.有最大值，没有最小值B.有最小值，没有最大值
C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值
二、多项选择题
9．某企业有A，B两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：A生产线的产品质量指标值，B生产线的产品质量指标值.已知A生产线的产量是B生产线的2倍，则( )
A.A生产线产品质量指标值的均值高于B生产线产品质量指标值的均值
B.该企业产品质量指标值的均值是82
C.A生产线产品质量指标值的标准差低于B生产线产品质量指标值的标准差
D.A，B两条生产线的产品质量指标值低于65的概率相同
10．已知圆柱的轴截面为矩形，，，为下底面圆的直径，点E在下底面圆周上，，F为的中点，，则( )
A.该圆柱的体积为
B.该圆柱的表面积为
C.直线与平面所成角为
D.二面角为
11．设是定义在R上的偶函数，其图像关于直线对称，，且，，都有，则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是__________.
13．双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点P的纵坐标为，则C的离心率为__________.
四、双空题
14．若无穷数列满足，，则称数列为数列.若数列为递增数列，则__________；若数列满足，且，，则__________.
五、解答题
15．已知6位同学中有3位女生，3位男生，现将这6位同学随机平均分成A，B两组，进行比赛.
(1)求A组中女生的人数X的分布列.
(2)记事件M:女生不都在同一组，事件N:女生甲在A组.判断事件M，N是否相互独立，并证明你的结论.
16．已知a，b，c，为的角A，B，C所对的边，且满足,D为的中点.
(1)求角A;
(2)若，求的长.
17．如图，平行四边形中，，，E为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，M是线段上的一个动点.
(1)证明：平面；
(2)当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．直线l经过抛物线的焦点F，且与E交于A，B两点（点A在x轴上方)，点（，且）在x轴上，直线，分别与E交于点，，记直线与x轴交点的横坐标为.
(1)若直线l垂直于x轴，求直线的方程.
(2)证明：.
19．若定义在D上的函数满足:对任意，存在常数M，都有成立，则称M为函数的上界，最小的M称为函数的上确界，记作.与之对应，若定义在D上的函数满足:对任意，存在常数m，都有成立，则称m为函数的下界，最大的m称为函数的下确界，记作.
(1)若有下确界m，则m一定是的最小值吗?请举例说明.
(2)已知函数，其中.
(i)若，证明:有下确界，没有上确界.
(ii)若函数有下确界，求实数a的取值范围，并证明
参考答案
1．答案：B
解析：由、，，
故.
故选：B.
2．答案：A
解析：若，由，则；
若，则a与可能垂直、可能相交也可能平行，
还有可能平面；
故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：D
解析：由椭圆可得其长轴长，
由，
故点M在椭圆上，
则由椭圆定义可得.
故选：D.
4．答案：B
解析：设，
则，即，
则，则，
则.
故选：B.
5．答案：A
解析：由，
则，
解得，则
.
故选：A.
6．答案：B
解析：设等差数列的公差为d，
则，
化简得，即，
则
，
由，则当时，取最大值.
故选：B.
7．答案：C
解析：由，
，则，，
又函数在区间上单调，
故，，
则当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，
，
，
即，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
8．答案：A
解析：当时，若，则，
此时在时无零点，
则需在时有2个零点，
令，则或，
则、且，
解得且，即且符合要求；
当时，令，则，
即在时有1个零点，则需在时有1个零点，
令，则或，
由，则，故需满足，解得，
即时，符合要求；
综上所述，，
故实数a有最大值，没有最小值.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：对A：A生产线产品质量指标值的均值为83，
B生产线产品质量指标值的均值为80，
故A生产线产品质量指标值的均值高于B生产线产品质量指标值的均值，故A正确；
对B：该企业产品质量指标值的均值是，故B正确；
对C：A生产线产品质量指标值的标准差为，
B生产线产品质量指标值的标准差为，
故A生产线产品质量指标值的标准差高于B生产线产品质量指标值的标准差，故C错误；
对D：，，
故A，B两条生产线的产品质量指标值低于65的概率相同，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：对于A，因为底面，
底面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，，
平面，所以平面，即，
因为F为的中点，所以为等腰直角三角形，所以，
又，为底面圆的直径，所以，
所以该圆柱的体积为，故A正确；
对于B，由A可得该圆柱的表面积为，故B错误；
对于C，因为底面，底面，所以，
又，，
，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角，
因为，
所以，
即，故C错误；
对于D，由C可得为二面角的平面角，
因为为等腰直角三角形，
所以，即二面角为，故D正确；
故选：AD.
11．答案：BC
解析：对于A，因为，，
都有，
所以，
即，则，
又，故，故A错误；
对于B，则，即，
又，则，
因为是定义在R上的偶函数，其图像关于直线对称，
所以，，则，
所以，故B正确；
对于C，，
即，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以
又，即是周期为4的周期函数，
所以，故D错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：由题意可得，
则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标.
故答案为：.
13．答案：
解析：由P的纵坐标为，
则，即，
由点P在以为直径的圆上，
故，
即有，
化简得，
即，又，故，
即.
故答案为：.
14．答案：45；
解析：由为递增数列，则，故，
则，，，，
则
即，
又，则，故；
由，故数列是单调递增数列，
即数列的偶数项构成单调递增数列，
依题意，可得，或，由，故，
故或，则或或或，
由，故，又，则，
故，故当时，有，
下面证明数列中相邻两项不可能同时为非负数：
假设数列中存在，同时为非负数，
因为，
若，则有，与条件矛盾；
若，则有，与条件矛盾；
即假设不存在，即对任意正整数n，，中至少有一个小于0；
由，对成立，
故时，，，即，
故，
故，
即，，
又，所以数列是，公差为1的等差数列，
所以.
故答案为：45；.
15．答案：(1)分布列见解析；
(2)相互独立，证明见解析.
解析：(1)A组中女生的人数可能为0，1，2，3，
故X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
所以A组中女生的人数X的分布列为
(2)事件M，N相互独立，证明如下：
事件M:女生不都在同一组，概率，
事件N:女生甲在A组，概率，
，
，
所以事件M，N相互独立.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1),
由正弦定理得，
，，
∴，
，
，
当时，，，
∴，，
∵，.
(2)，∴，
又∵，由余弦定理得，∴.
由平面向量加法的平行四边形法则可得，
所以，，
，即的长为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由，E为的中点，
则，则，
又平面平面，平面平面，
平面，故平面，
又平面，故，
由，，则，
，，
由，则，则，
又，故与相似，故，
则，
故，又，
，、平面，
故平面；
(2)由(1)可得、、两两垂直，
故可以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、，
则、、，
设，，
则，
点M到直线的距离
，
由，故则当点M到直线的距离d最小时，的面积最小，
此时，则，
设平面的法向量为，
则有，
取，则，，即，
由y轴平面，故平面的法向量可为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由抛物线的焦点为，
若直线l垂直于x轴，则，
令，则、，
，则，即，
，即，
联立，
解得或，即，
联立，
解得或，即，
故直线的方程为；
(2)设直线l为，
联立，
则有，
故，，
由，则，，
联立，
则，
故，即，
同理可得，
则，，
则，
令，即有，
又，则，
则，
故，由，
故，即得证.
19．答案：(1)m不一定是的最小值，如；
(2)(i)证明见解析
(ii)证明见解析
解析：(1)m不一定是的最小值.如的下确界，
但0不是的最小值.
(2)(i)证明：当时，，定义域，
所以.
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的，恒成立，
所以函数有下确界，.
假设函数有上确界，设，则，
.
因为，这与t是的上确界相矛盾，
故假设不成立，函数无上确界.
(ii)先证明.
令函数，则，
设，则，
当，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即.
若，当时，
.
假设有下确界，
则一定存在负数m，，恒成立.
当时，有，矛盾，
故假设不成立，即时，没有下确界.
若，因为，
设，则，
所以在上单调递增.
当时，，所以.
因为连续函数满足，
所以函数在上有零点.
因为在上单调递增，
所以在上只有一个零点，设为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的最小值为.
结合(i)，若函数有下确界，则实数a的取值范围为.
又时，，
由(i)知，故的下确界.
X
0
1
2
3
P