九年级上学期期末数学试题 (34)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (34)，共25页。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
3. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后，新图象的顶点坐标是．
∴所得抛物线的表达式为．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米
【答案】B
【解析】
【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题不难求解.
【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙高度是8米.
故选B.
【点睛】本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
5. 如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
分析】连接AC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，求出∠A＝90°﹣∠ABC＝40°，由圆周角定理得出∠BDC＝∠A＝40°即可．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC＝∠A＝40°；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
6. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即．
抛物线与y轴交于正半轴，则．
．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
．
∵抛物线的对称轴为直线，
时，，
而，
即，
故②正确；
③时，，
而
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．
∴当时，
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于的图像的开口方向、对称轴、与y轴的交点的决定因素．
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
7. 若是一元二次方程的一个根，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是熟记一元二次方程的根的概念：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
8. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为___________．
【答案】30°
【解析】
【详解】∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
9. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式求出总的情况，利用总的情况减去白球的即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
总的可能有：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
10. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为，则是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为，
由题意得：，
解得：，（舍去，不符合题意），
故答案为：．
11. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是________．
【答案】##2厘米
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵，
∴，
又，
由旋转的性质得：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：
12. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证∽，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD＋∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD＋∠AOC＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴∽，
∴，
又∵S△AOC＝×4＝2，
∴S△OBD＝，
∵第二象限的点在反比例函数上
∴k＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
三、解答题（共5题，每题6分，共30分）
13. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原方程根据公式法求解即可；
（2）原方程利用分解因式法求解．
【小问1详解】
方程中，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
原方程可变形为，
∴或，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和分解因式法解方程的方法是解题的关键．
14. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）这次被调查的学生人数为50名；
（2）见解析； （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有600名；
（4）恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：这次被调查的学生人数为（名）；
【小问2详解】
解：喜爱“体育”的人数为（名），
补全图形如下：
；
【小问3详解】
解：估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名）；
【小问4详解】
解：列表如下：
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
15. 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】由内角和定理求出，由旋转的性质得到，，得到，再由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，求m的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．
（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
得
解得，
所以此函数的解析式为
【小问2详解】
解：把代入
得，
解得 或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．
17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点的中心对称图形；
（2）将绕点逆时针旋转得到，画出；
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为_______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴，
故答案为：．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）
18. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【答案】（1）2t，（5﹣t）
（2）当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【解析】
【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论；
（2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案；
（3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【小问1详解】
解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【小问2详解】
解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
【小问3详解】
（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质，用方程的思想是解本题的关键．
19. 如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点．
（1）求双曲线的表达式和a，b的值；
（2）请直接写出使得的x的取值范围；
（3）若的面积为12，求此时C点的坐标．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点和点代入，求出与的值，再将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可；
（3）根据，求出的长，进而得到此时点的坐标．
【小问1详解】
解：直线过点和点，
，，
．
双曲线过点，
，
双曲线的表达式为；
【小问2详解】
观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值，
即使得的的取值范围是或；
【小问3详解】
，，
，
，
，
此时点的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键．
20. 如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，于F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键．
（1）如图：连接OC，由角平分线的判定定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后结合即可证明结论；
（2）根据圆的定义可得，再在中运用三角函数可得，最后根据直角三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：连接OC；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
在中，，
∴,
∴．
在中，，
∴．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分）
21. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）该种健身球销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【小问1详解】
解：在中，令得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
【小问3详解】
解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
22. （1）如图1，和均等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
【答案】（1）①；②；（2）；；（3）；
【解析】
【分析】（1）①根据证明，即可得出；
②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，结合三角形内角和定理，得出即可得出结果；
（2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，求出，证明，求出，得出．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，特殊角的三角函数值．
六、解答题（本大题共1小题，共计12分）
23. 综合与探究
如图，已知点B（3，0），C（0，－3），经过B.C两点的抛物线y＝x2－bx＋c与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（3）已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF//y轴交线段BC于点F，连结EC，若点E（2，－3），请直接写出△FEC的面积；
（4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）点D的坐标为（1，－2）；（3）△FEC的面积为2；（4）存在，P1（0，3），P2（－2，－3），P3（6，－3）．
【解析】
【分析】（1）将点B（3，0），C（0，－3）代入抛物线y＝x2－bx＋c，求得b,c即可求解；
（2）求出D点的横坐标为1，当点B、D、C在同一直线上时，＝AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC最小，再求出直线BC的解析式，即可求D点坐标；
(3)根据点和平行线的性质，先得出线段CE和EF的长以及∠CEF=90°即可求得△FEC的面积；
（4）
【详解】解：(1) 将点B（3，0），C（0，－3）代入抛物线y＝x2－bx＋c，
得， ，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)如图：
由y＝x2－2x－3得
对称轴为x＝- = =1
∵点A，.B关于x＝1对称，
∴连结BC与对称轴为x＝1的交点就是符合条件的点D ，
设直线BC的解析式为y＝mx＋n，
将B(3，0)，C(0，－3)代入解析式
得 ，解得，
∴y＝x－3
当x＝1时，y＝－2，
∴点D坐标为(1，－2)；
(3)如图：
∵E(2，-3)，C(0，-3)
∴CE∥x轴，且CE=2
∵EF//y轴交线段BC于点F且:y＝x－3
当x=2时，y=-1，
∴F(2，-1)
∴EF=2，
又∵∠CEF=90°
∴= ×2×2=2；
(4) 存在，
如图：
①当AB为边长，BE为边长，
如图四边形ABE P1为平行四边形
∵对称轴为x＝1， B（3，0）
∴1×2-3=-1
∴A(-1，0)
AB=3-（-1）=4
∴P1E=AB=4
∵E(2，-3)
∴C P1= P1E-CE=4-2=2
∴P1 (－2，－3)
②当AB为边长，AE为边长，
∵E P2=AB=4
∴C P2= P2E+CE=4+2=6
∴P2 (6，－3)
③当AB为对角线，四边形ABE P1为平行四边形
∵四边形ABE P1为平行四边形
易得P3恰好交y轴
∴P3(0，3)
综上所述，P1 (－2，－3)，P2 (6，－3)，P3(0，3)．甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）