九年级上学期期中数学试题（华东师大版） (4)

这是一份九年级上学期期中数学试题（华东师大版） (4)，共19页。试卷主要包含了 圆内接四边形中，已知，则等于， 下列结论正确的是， 事件A等内容，欢迎下载使用。
1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A. B. C. D. 为任意实数
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴．
故选：A
2. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程（）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根可知，求出即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根，
，
解得：．
故选：．
3. 设二次函数图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，正确理解二次函数的对称轴是解题的关键．根据二次函数的对称轴是直线，即可求解．
【详解】二次函数图象的对称轴为直线，
直线l上的点的横坐标为．
故选C．
4. 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A. 60°B. 45°C. 35°D. 30°
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可求解．
【详解】如图，连结OC，
∵，
∴∠BDC=∠AOB=×60°=30°
故选：D
【点睛】本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 10或8B. 10C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边为2，2，4时，②当等腰三角形的三边为2，4，4时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【详解】解：解方程得：或2，
①当等腰三角形的三边为2，2，4时，，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
6. 某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根据百分率的意义及方程的意义即可得出答案．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
一次降价后价格可表示为，再次降价后价格表示为，
可列方程为，
故选：D．
7. 圆内接四边形中，已知，则等于（ ）
A. B. 30°C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角．根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形，，
∴．
故选．
8. A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径最大，一般弦，解答即可．
本题考查了圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
【详解】解：根据圆的性质，得最大是圆的直径，为12，最小是一般弦，大于零即．
故选C．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧B. 相等的圆周角所对的弧相等
C. 正多边形一定是中心对称图形D. 三角形的内心到三角形各边的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，正方形的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．根据圆的性质可判断A，B，D；根据正方形的性质可判断C．
【详解】解：A．同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，故不正确，不符合题意；
B．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故不正确，不符合题意；
C．正多边形（边长偶数）一定是中心对称图形 ，故不正确，不符合题意；
D．三角形的内心到三角形各边的距离相等，正确，符合题意；
故选D．
10. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ）
A. P（C）＜P（A）=P（B）B. P（C）＜P（A）＜P（B）
C. P（C）＜P（B）＜P（A）D. P（A）＜P（B）＜P（C）
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得
【详解】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1；
事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1；
事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件，P（C）=0．
∴P（C）＜P（A）＜P（B）．
故选B．
【点睛】本题考查了事件的分类及可能性大小，熟练掌握随机事件的概率大于0小于1，必然事件发生的概率等于1，不可能事件发生的概率为0是解题的关键．
二．填空题（每题4分，共24分）
11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将代入原方程，利用整体思想求解．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 在一个不透明布袋中装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为__．
【答案】；
【解析】
【详解】由题意可得：P（任摸一个球是黄球）=.
故答案为.
13. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由是的直径的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
【详解】解：∵是的直径的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 二次函数的图像如图所示，下列说法：①；②当时，；③若在函数图像上，当时，；④；⑤，其中正确的有（填写正确的序号）_______．
【答案】①④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象逐条分析．解决该题型题目时，结合图象上的点找出二次函数各系数间的关系是关键．
根据抛物线对称轴可判断①；根据图象知当时图象位于x轴下方或在x轴上，可判断②；根据函数对称轴即可判断增减性，可判断③；由图象过可判断④；由时，，可判断⑤．
【详解】解：由图象可知，当时，；当时，；
∴抛物线对称轴解为，即，
得：，故①正确；
当时，，故②错误；
当时，，故③错误；
∵抛物线过，
∴将代入得：，故④正确；
将代入得：，故⑤错误；
故答案为：①④．
15. 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点E落在上，且，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及图形旋转的性质是解题的关键．根据矩形的性质及图形旋转的性质可求得，，再根据勾股定理求得，即得答案．
【详解】四边形是矩形，
，，
矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则_______．
【答案】−2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象旋转，总结归纳出据图象的旋转后解析式规律是解题的关键．
根据图象的旋转变化规律总结归纳出旋转后的解析式为，进而求出抛物线的解析式，再把代入，求出n的值即可．
【详解】解：∵一段抛物线与轴交于点，
∴图象与轴交点坐标为：，
∵将，绕点旋转得，交轴于点，
∴；
∴的解析式为，
∵将绕点旋转得，交轴于点；
∴；
∴的解析式为，
∴的解析式为，
∴的解析式为，
当时，．
故答案为：．
三．解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：移项得，
配方得，即，
∴，
解得，．
【小问2详解】
解：提公因式得，
∴或
解得，．
18. 关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式判定即可得证；
（2）由根与系数的关系得，，将变形得，代入解方程即可得解．
【小问1详解】
证明：∵关于的一元二次方程
∴．
∵，
∴方程总有两个实数根；
小问2详解】
解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴的值为或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键．
19. 如图，点A，B，C，D在上，，垂足为E．若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理、特殊角度直角三角形三边关系，熟练找到圆中对应圆周角与圆心角的关系是解决问题的关键．连接，根据圆周角定理求得，则在中可得，利用勾股定理求得，根据垂径定理可得到的长．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，某农场有一块长，宽的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为，求小路的宽．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设小路的宽为，根据矩形的面积公式构造一元二次方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽为，依题意有
，
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是．
21. 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【答案】解：（1）如图1，点P就是所求作的点．
（2）如图2，CD为AB边上的高．
【解析】
【详解】试题分析：（1）图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图，作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”，设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点．
（2）由（1），我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．
22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，切线交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线性质，等角对等边，证明．
（2）连接，根据圆的性质，切线的性质，勾股定理解答即可．
本题考查了切线性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：连接．
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
设，在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
23. 某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满99元，均可得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率；
（2）如果一个顾客当天在本店购物满99元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由．
【答案】（1）
（2）选择甲品牌化妆品，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
（1）画树状图，共有12种等可能的情况，一次摇出一红一白的情况共有8种，再由概率公式求解即可；
（2）先在（1）的基础上再算出另外两种情况出现的概率，根据算出的概率，依据甲乙化妆品获得礼品卷的方案分别算出获得礼品卷，即可得到取获得礼品卷多的品牌化妆品．
【小问1详解】
树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好连续摇出一红一白的结果有8种，
所以；
【小问2详解】
∵两红的概率，两 白的概率，一红一白的概率，
∴甲 品牌化妆品获礼金券的平均收益是：元．
乙 品牌化妆品获礼金券平均收益是：元．
∴选择甲品牌化妆品．
24. 阅读材料：
在平面直角坐标系中，点Px0,y0到直线的距离公式为．
例如：求点到直线的距离．
解：由直线知，，，，
∴点到直线的距离为．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点到直线的距离为 ；
问题2： 已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值；
问题3：如图，设点为问题2中上的任意一点，点、为直线上的两点，且，请求出的最大值和最小值．
【答案】问题1：；问题2：或；问题3：的最大值和最小值分别是和
【解析】
【分析】问题1：把直线化为：直接利用公式即可得到答案；
问题2：把直线整理，得，利用公式列方程求解即可；
问题3：先求圆心到直线的距离，判断出P到的最大距离与最短距离可得答案．
【详解】解：问题1：∵，
∴，

∵，
，
；
问题2：直线整理，得，
故，
∵，且与直线相切，
∴点到直线的距离等于半径1，
即，
解得或；
问题3：如图，过点作于点．
∵在中，，，，
∴圆心到直线的距离，
∴上的点到直线的最大距离为，
最小距离为，
∵，
∴的最大值为，
最小值为．
【点睛】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为的形式，学会构建方程解决问题，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值．
25. 已知二次函数，其中．
（1）若二次函数关于轴对称，则的值为 ；
（2）二次函数与轴交于，（）两点，且，试求的取值范围；
（3）当时，二次函数的最小值是，求的值．
【答案】（1）
（2）−
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可 ；
（2）令，则，解得，代入，解不等式组即可；
（3）根据当时，二次函数的最小值是，分三种情况列方程求解即可，①，②，③．
【小问1详解】
解：二次函数关于轴对称，则，解得：；
故答案为；
【小问2详解】
解：令，则，
则
解得，
∵
∴，
整理得：，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：①当对称轴时，x=1，二次函数有最小值，此时，
代入x=1得：，
化简得：，
解得：，或(舍去)；
②当对称轴时，，二次函数有最小值，此时，
代入得：，
化简得：，
解得：，或(舍去)；
③当对称轴时，时，二次函数有最小值，此时，
代入得：,
化简得：，
故此情形不存在，应舍去
综上所述，的值为：或．甲种品牌化妆品
球
两红
一红一白
两白
礼金券（元）
6
12
6
乙种品牌化妆品
球
两红
一红一白
两白
礼金券（元）
12
6
12