2023-2024学年四川成都金牛区七年级下册数学期中试卷及答案

这是一份2023-2024学年四川成都金牛区七年级下册数学期中试卷及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，多项式乘多项式的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，多项式乘多项式，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
2. 若，则的补角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补角的知识解题，掌握互补的两角之和为求解．
【详解】解：，
补角．
故选：B．
【点睛】本题考查了一个角的补角（若两角之和满足180°，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角），熟练掌握补角是解决此题的关键．
3. 某呼吸道病毒的变种，具有较强传播能力，市民都戴好口罩就能大大降低感染率，已知该病毒的直径大约0.0000023毫米，将数字0.000 0023用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 0023＝2.3×10﹣6．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下列说法正确的有（ ）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③对顶角相等；④平行于同一条直线的两条直线平行．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】利用同位角的定义、平行公理、对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：两直线平行，同位角相等，故说法错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
对顶角相等，原说法正确；
平行于同一条直线的两条直线平行，原说法正确；
综上分析可知，说法正确的有个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同位角的定义、平行公理、对顶角的性质、平行线的性质等知识．解题的关键是掌握同位角的定义、平行公理、对顶角的性质、平行线的性质等知识．
5. 如果是一个完全平方式，那么的值为
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式的定义，即可得到答案．
【详解】，
，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的形式(a±b)2=a2±2ab+b2，是解题的关键．
6. 已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE即可．
【详解】在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°，
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算进而得出的值．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8. 如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积
=（a+b）（a-b）．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
9. 如图，一只蚂蚁沿台阶匀速爬行，蚂蚁爬行的高度随时间变化的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形，可以分析出各段过程中，随的增加如何变化，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，
蚂蚁沿台阶从的过程中，随的增加不发生变化，
蚂蚁沿台阶从的过程中，随的增加在变小，
蚂蚁沿台阶从的过程中，随的增加不发生变化，
蚂蚁沿台阶从的过程中，随的增加变小直到为零，
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10. 如图中的图象折线描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离千米和行驶时间小时之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了千米；②汽车在行驶途中停留了小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米时；④汽车自出发后小时至小时之间行驶的速度在逐渐减少．其中正确的说法共有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是千米，共行驶千米，共用时间是小时．
【详解】解：行驶的最远距离是千米，共行驶千米，故此选项错误；
根据图象从时到时，停留时间，停留小时，故此选项正确；
汽车在整个行驶过程中的平均速度为(千米时)，故此选项错误；
汽车自出发后小时至小时之间路程与时间成一次函数关系，因而速度不变，故此选项错误．
故正确的说法是：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数图象的读图能力．解题的关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（本题共9小题）
11. 已知a2﹣b2＝﹣12，a+b＝3，则a﹣b的值为___．
【答案】-4
【解析】
【分析】先利用平方差公式，可得(a+b)( a﹣b)＝﹣12，进而即可求解．
【详解】解：∵a2﹣b2＝﹣12，
∴(a+b)( a﹣b)＝﹣12，
∵a+b＝3，
∴a﹣b=-4，
故答案是：-4．
【点睛】本题主要考查代数式求值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
12. 长方形的周长为10，其中一边为（其中），另一边为，则关于的函数表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的周长的定义得到x+x+y+y=10，然后用x表示y即可．
【详解】解：根据题意得：，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
13. 一个角与它的补角之差是20°,则这个角的大小是____.
【答案】100°
【解析】
【分析】设这个角为α，根据互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后列出方程求出α即可．
【详解】解：设这个角为，则它的补角，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查了余角和补角的概念，解题的关键是设出这个角并表示出它的补角．
14. 一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠ACE的度数为_____°．
【答案】30
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠ACE=∠BAC，根据三角板的度数即可得解．
【详解】解：∵AB∥DC，
∴∠ACE=∠BAC=30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了平行线的性质．两直线平行，内错角相等．
15. 已知，则______．
【答案】2019
【解析】
【分析】由得，把写成＋，然后提公因式把所求的代数式整理成含的形式，然后代入数据计算求解即可．
【详解】解：由得，





．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，利用分解因式整理出已知条件的形式是解答本题的关键．
16. 已知，则______．
【答案】25
【解析】
【分析】将方程化为，从而求得，，即可得出结论．
【详解】解：由，
得，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零．”当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．
17. 如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．
【答案】105°
【解析】
【详解】由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为105°.
点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.
18. 已知角，（，）的一边互相平行，另一边互相垂直，且比的4倍少15度，则__________．
【答案】69°或125°
【解析】
【分析】分两种情况讨论，依据角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的4倍少15度，即可得到关于α，β的方程组，进而得出α的值．
详解】解：如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，
过C作CF∥AB，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF=，∠DCF=，
∴=∠BCD=，
则，
解得α=69°；
如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，
过C作CF∥AB，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF=，∠DCF=，
∴=∠BCD=，
则，
解得α=125°；
综上所述，α的度数为69°或125°．
故答案为：69°或125°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，利用平行线的性质进行计算．
19. 如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上由左至右第1个数是1，第2个数是13，第3个数是41，…，依此规律，第7个数是_______．
【答案】313
【解析】
【分析】先把13写成12+1，然后分解12为3×4，把41写成40+1，把40写成5×8，以此类推即可得到结果．
【详解】解：观察数字的变化可知：
第1个数是1，
第2个数是13=1+3×4=1+(2×2-1) ×[(2-1)×4]，
第3个数是41=1+5×8=1+(2×3-1) ×[(3-1)×4]，
…，
第n个数是1+(2n-1) ×[(n-1)×4]，
第7个数是1+(2×7-1) ×[(7-1)×4]=313．
故答案为313．
【点睛】本题考查了规律型，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题（本题共9小题）
20. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】根据有理数的乘方、零指数幂、绝对值即可解答本题；
先算积乘方，然后计算单项式的乘除法即可；
根据平方差公式和多项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
根据单项式乘多项式、多项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【小问1详解】


；
【小问2详解】


；
【小问3详解】


；
【小问4详解】


．
【点睛】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
21. 先化简，再求值：，其中m＝1，n＝．
【答案】，-9
【解析】
【分析】根据平方差公式以及整式的混合运算法则，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解：原式=
=
=，
当m＝1，n＝时，原式=．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式和整式的混合运算法则是解题的关键．
22. 完成下面的证明．
已知：如图，，，分别是，的平分线．
求证：．
证明：∵（已知），
∴______（ ）．
∴______（ ）．
∵，分别是，的平分线（ ），
∴，______（ ）．
∴（ ）．
∴（ ）．
【答案】CD；内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；已知；；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】由平行线的判定得CDEF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED＝∠ACB，进而可判定BCDE．
【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴EFCD（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），
∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4（角平分线的定义），
∴∠ACB＝∠AED（等量代换），
∴BCDE（同位角相等，两直线平行），
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；已知；2∠4；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，理解平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系是解决问题的关键．
23. 如图，在四边形中，，，，平分，与相交于点，平分，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）欲证明，只需推知，依据“同旁内角互补，两直线平行”证得结论；
（2）利用平行线的性质和角平分线的性质得到，然后再根据“两直线平行，同旁内角互补”得到：．
【小问1详解】
证明：平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
24. 科学家为了研究地表以下岩层的温度与所处的深度的变化情况，选择了一个地点来进行测试，测试结果记录下来，制成表格：
（1）根据上表的数据，请你写出与的关系式；
（2）当地下岩层时，岩层的温度是多少；
（3）岩石的熔点各不相同，某种岩石在温度达到时，就会融化成液体，请问这种岩石处在地表下多少km时就会变成液态？
【答案】（1）
（2）
（3）km
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可得出函数解析式；
（2）代入法即可求解；
（3）代入法得到方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：根据表中数据可得，岩层深度每增加1km，岩层的温度就增加35，可知y与x成一次函数关系，
设y与x函数关系式为y=kx+b，
将x=1，y=55，和x=2，y=90代入得，，
解得：，
∴与x的关系式为：
【小问2详解】
解：当地下岩层13km时，
．
故岩层的温度是；
小问3详解】
解：温度达到时，
，
解得．
故这种岩石处在地表下km时就会变成液态．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，求的度数；
(3)猜想与之间存在什么数量关系，并说明理由；
(4)当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在与平行的情况，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（4）存在，
【解析】
【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；
（2）根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（3）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（4）当∠ACE=30°时，CB∥AD时，根据平行线的判定即可解决问题．
【详解】解：（1）∵∠DCE=45°，∠ACD=90°
∴∠ACE=45°
∵∠BCE=90°
∴∠ACB=90°+45°=135°
故答案为：135°；
（2）∵∠ACB=140°，∠ECB=90°
∴∠ACE=140°-90°=50°
∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°；
（3）猜想：∠ACB+∠DCE=180°
理由如下：∵∠ACE=90°-∠DCE
又∵∠ACB=∠ACE+90°
∴∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE
即∠ACB+∠DCE=180°；
（4）30°；
理由：∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠D=∠DCB=30°，
∴CB∥AD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏．
26. 已知a﹣b＝3，ab＝1-k，a2+b2＝k+2：
（1）求k的值；
（2）若x2﹣kx+1＝0，求下列各式的值：
①x3﹣2x2﹣2x+5；
②．
【答案】（1）3；（2）①4；②7
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式，可得a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，进而即可求解；
（2）①由（1）可得x2＝3x-1，然后代入x3﹣2x2﹣2x+5即可求解；②由①可得，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】解：（1）∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab=32+2×(1-k)，
∴k+2=32+2×(1-k)，解得，k=3；
（2）①∵x2﹣kx+1＝0，即：x2﹣3x+1＝0，
∴x2＝3x-1，
∴x3﹣2x2﹣2x+5=x(3x-1)-2(3x-1)-2x+5=3x2- x-6x+2-2x+5=3x2-9x+7=3(3x-1)-9x+7=4；
②∵x2+1＝3x，
∴，
∴=．
【点睛】本题主要考查完全平方公式及其变形公式，熟练掌握a2+b2＝（a﹣b）2+2ab是解题的关键．
27. 甲、乙两地间的直线公路长为180千米，一辆摩托车和一辆轿车分别从甲、乙两地出发，沿该公路匀速行驶，已知轿车比摩托车早出发1小时，且轿车到达甲地停留t小时后原路原速返回甲地（调头时间忽略不计），最后两车同时到达乙地，在行驶过程中，两车距乙地的距离y（千米）与摩托车行驶的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）轿车的速度是 千米/小时，摩托车的速度是 千米/小时，t的值为 ；
（2）写出摩托车距乙地的距离y（千米）与x（小时）的关系式；
（3）摩托车出发后几小时，两车在途中相距30千米？请直接写出答案．
【答案】（1）60，30，1；（2）y=-30x+180（0≤x≤6）；（3）摩托车出发后1或或5小时，两车在途中相距30千米．
【解析】
【分析】（1）根据函数图像，可得轿车的速度和摩托车的速度以及轿车到达甲地停留的时间；
（2）利用待定系数法，即可求解；
（3）分3种情况：①两车相遇之前；②两车相遇之后且轿车到甲地之前；③两车相遇之后且轿车返回途中，分别求解，即可．
【详解】解：（1）由图像可知：当x=0时，y=60，且轿车比摩托车早出发1小时，
∴轿车的速度=60÷1=60（千米/小时），
由图像得：摩托车的速度=180÷6=30（千米/小时），
t=，
故答案是：60，30，1；
（2）设y=kx+b，
把（0，180），（6，0）代入上式得：，解得：，
∴y=-30x+180（0≤x≤6）；
（3）分3种情况：
①两车相遇之前：30x+30+60x+60=180，解得：x=1；
②两车相遇之后且轿车到甲地之前：30x+60x+60-30=180，解得：x=；
③两车相遇之后且轿车返回途中：30x-60(x-3)=30，解得：x=5，
综上所述：摩托车出发后1或或5小时，两车在途中相距30千米．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，关键是理解函数图像上点的坐标的实际意义以及待定系数法，是解题的关键．
28. 如图，，为、之间一点．
（1）若平分，平分求证：；
（2）如图，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论；
（3）如图，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，再由角平分线的定义得，，从而利用三角形的内角和可求解；
过点作，过点作，从而可得到，结合平行线的性质及角平分线的定义可求得的度数；
由垂直可得，再由角平分线的定义可求得，再由平行线的性质得，从而可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
证明：过点作，过点作，如图所示：

，
，，
，，，，
，，
，，平分，平分，
，，
，，




；
【小问3详解】
解：，
证明：，
，
平分，平分，
，
，
，
，
．
岩层深度
…
岩层温度
…