甘肃省庆阳市2025届高三上学期阶段性调研测试（一模）数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省庆阳市2025届高三上学期阶段性调研测试（一模）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2．已知复数,则的实部为( )
A.20B.21C.D.
3．若双曲线的右支上一点P到右焦点的距离为9,则P到左焦点的距离为( )
A.3B.12C.15D.3或15
4．已知某圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
5．函数的值域为( )
A.B.C.D.
6．在平行四边形ABCD中,,,则( )
A.B.
C.D.
7．若锐角满足,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域为R,,,则下列结论错误的是( )
A.B.是奇函数
C.D.的图象关于点对称
二、多项选择题
9．已知椭圆,则( )
A.M的焦点在x轴上B.M的焦距为10
C. M的离心率为D.M的长轴长是短轴长的5倍
10．设函数的最小正零点为,则( )
A.的图象过定点
B.的最小正周期为
C.是等比数列
D.的前10项和为
11．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性,规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为,故其各个顶点的曲率均为.如图,在正方体中,,则( )
A.在四面体中,点A的曲率为
B.在四面体中,点的曲率大于
C.四面体外接球的表面积为
D.四面体内切球半径的倒数为
三、填空题
12．为了让自己渐渐养成爱运动的习惯,小明10月1日运动了5分钟,从第二天开始,每天运动的时长比前一天多2分钟,则从10月1日到10月的最后一天,小明运动的总时长为___________分钟.
13．若过圆外一点作圆C的两条切线,切点分别为A,B,且,则________________.
四、双空题
14．已知一组数据1,2,3,3,5,1,6,8,则这组数据的第60百分位数为____________;若从这组数据中任意抽取2个数据,则这2个数据不相等的概率为___________.
五、解答题
15．在中,,,.
(1)求BC的长;
(2)设D为AC边上一点,且,求.
16．如图,平面平面,四边形为正方形,位于平面的两侧.
(1)证明：平面平面.
(2)若,,,求平面与平面夹角的余弦值.
17．贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果,其果实个大似鹅蛋,外表呈橙黄色,阳面有晕.贵妃杏口感甜美,肉质实心鲜嫩多汁,营养丰富,是河南省的知名特产之一.已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M（单位：克）服从正态分布,且,.从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个,它们的质量（单位：克）为,,,,,,,,,这10个贵妃杏的平均质量恰等于克.
(1)求.
(2)求.
(3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个,若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克,则赠送1个贵妃杏;若选取的贵妃杏的质量大于104克,则赠送2个贵妃杏.记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X,求X的分布列与数学期望.
18．已知动点P在抛物线上,,点P到C的准线的距离为d,且的最小值为5.
(1)求C的方程;
(2)若过点的直线l与C交于A,B两点,且直线的斜率与直线的斜率之积为,求l的斜率.
19．定义：对于函数,,若,,则称“”为三角形函数.
(1)已知函数,若为二次函数,且,写出一个,使得“”为三角形函数;
(2)已知函数,,若“”为三角形函数,求实数t的取值范围;
(3)若函数,证明：“”为三角形函数.（参考数据：）.
参考答案
1．答案：B
解析：因为集合,,
所以,即集合中有2个元素.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为,
所以,
所以的实部为21.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为双曲线方程为,所以,则,
设双曲线的左､右焦点分别为,,
又点P在双曲线的右支上,且,
所以,则.
故选：C.
4．答案：B
解析：根据题意,
可得该圆台的体积为:.
故选：B.
5．答案：D
解析：对于,有,解得,
对于,其图象开口向下,对称轴为,
当时,,当时,,
所以当时,,即,
又在其定义域内单调递增,
所以,则,
则的值域为.
故选：D.
6．答案：C
解析：如图：.
故选：C.
7．答案：C
解析：由题意可得,
解得或,而为锐角,故舍去,
则,
故.
故选：C.
8．答案：D
解析：取,,则,即,得,故A正确;
取,则,得,故是奇函数,B正确;
对任意的x都有,可得,
因此的图象关于点对称,故D错误;
由于且是奇函数,得,即,
因此,,,,,C正确.
故选：D.
9．答案：BC
解析：对于椭圆,可得,,,
故椭圆的焦点在y轴上,焦距为,离心率为,
长轴长为,短轴长为,故AD错误,BC正确.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于A,因为,
所以,故A正确;
对于B,的最小正周期为,故B错误;
对于C,令,得,所以,,
整理得,,即的零点为,,
而是的最小正零点,则,,
显然,,,
所以是,的等比数列,故C正确;
对于D,的前10项和为,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：在正方体中,易证为正三角形,,,
在四面体中,点A的曲率为,A选项正确;
在正方体中,,,,在四面体中,
点的曲率为,B选项正确;
四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为,
四面体外接球的表面积为,C选项错误;
四面体的体积,
四面体的表面积,
四面体内切球的半径,
即,D选项正确;
故选：ABD.
12．答案：1085
解析：由题意小明每天的运动时长构成等差数列,其中,,
所以（分钟）,
即小明运动的总时长为1085分钟.
故答案为：1085.
13．答案：2或4
解析：如图,记圆C的圆心为与交于点D,圆的半径为R,
由题意可得,,,,
,所以,
即,解得或16,即或4,
经检验,都满足题意.
故答案为：2或4.
14．答案：3;
解析：将数据从小到大排列为：1,1,2,3,3,5,6,8,共个数,
由于,所以这组数据的第60百分位数为：3;
从这组数据中任意抽取2个数据,
则样本空间为：
,
共28个样本点,
则这2个数据相等的有共个,所以不相等的有26个样本点,
所以这2个数据不相等的概率为.
故答案为：3;.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,,,,
由余弦定理得：.
(2)在中,由正弦定理得,
所以.
16．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接.因为四边形为正方形,所以.
因为平面,所以.
又,
所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(2)以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,
则
令,得.
由(1)知平面的一个法向量为,
则,
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：(1)100
(2)0.3
(3)分布列见解析,1.4
解析：(1);
(2)因为,所以,
所以.
(3)设1人获赠贵妃杏的个数为Y,则,,.
依题意可得X的可能取值为0,1,2,3,4,
,
,
,
,
,
则X的分布列为
所以.
18．答案：(1)
(2)4或
解析：(1)设抛物线C的焦点为,由抛物线的定义可得,
则,
当Q,P,F三点共线且点P在线段上时,取得最小值5,
则,整理得,解得或,
因为,所以,故C的方程为.
(2)设过点的直线,,.
联立,消元得,则,
由,
得
代入韦达定理得：
化简得,
得或.
故l的斜率为4或.
19．答案：(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)由,,
得,令,解得.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
所以.
因为为二次函数,且,所以的对称轴为,
设,
要使“”为三角形函数,只要,
取,,则,
,满足,
则,,,即成立.
故若,取,可使得“”为三角形函数.
(2),,
①当时,,
则任意,故“”为三角形函数.
②当时,由,,,
则,;
要使“”为三角形函数,
由,解得,
则有,,
所以;
③当时,则,,
要使“”为三角形函数,由,解得,
则有,,
所以;
综上所述,实数t的取值范围为.
(3),.
由(1)知,,
则任意,;
下面证明.
由,,
则,
令,
则,所以在上单调递减.
又,由参考数据可知,,
则存在唯一的实数,使,即().
所以当时,,,在上单调递增;
当时,,,在上单调递减;
故,
由()式可知,
则,
令,
则,
所以在单调递增,
故.
即.
所以,成立,即.
故“”为三角形函数,命题得证.
X
0
1
2
3
4
P
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04