2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知一组数据为，，，，，，，，，则其极差、第百分位数和众数的大小关系是(    )

A. 极差第百分位数众数 B. 众数第百分位数极差
C. 极差众数第百分位数 D. 极差第百分位数众数

3.  记的内角，，的对边分别为，，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设，则“”是“”的(    )

A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  已知，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是(    )

A. 在复平面内对应的点位于第三象限
B. 若是纯虚数，那么
C.
D. 复数是方程的一个根，则

10.  下列各式中，值为的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  下列说法正确的是(    )

A. 若函数在存在零点，则一定成立
B. “，”的否定是“，”
C. 若角的终边经过点，则
D. 已知正实数，满足，则的最小值为

12.  如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是(    )

A.
B. 平面
C. 存在点，使得平面平面
D. 三棱锥的体积为定值

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为和，则两人中有人患感冒的概率是______．

14.  已知向量，，，若，则______．

15.  已知点到平面的距离为，过点的动直线与所成夹角为，则与交点的轨迹长度为______．

16.  已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球球与圆锥的底面和侧面均相切的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为求：
恰有人通过测试的概率；
至少有人通过测试的概率．

18.  本小题分
已知函数．
求及的值；
若，求的取值范围．

19.  本小题分
已知，函数．
求的最小正周期和最大值；
求在上的单调区间．

20.  本小题分
从，，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：
已知三个内角，，的对边分别为，，，已知______．
求角的大小；
若为锐角三角形，，求的取值范围．

21.  本小题分
在直三棱柱中，，分别是，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，，．
(ⅰ)求二面角的正切值；
(ⅱ)求直线到平面的距离．

22.  本小题分
为打造精品赛事，某市举办“南粵古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育文化旅游”全方位融合发展．本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：

求，的值；
估计本次大赛所有选手的平均速度同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到；
通过分层抽样从成年组和专业组中抽取人，再从这人中随机抽取人接受采访，求接受采访的人都来自“成年组”的概率．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

利用集合之间的包含关系判断集合的关系．
本题考查集合的子集概念，是基础题．

【解答】

解：，集合的元素都在集合中，．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：极差为，众数为，第百分位数即中位数为，
所以，极差第百分位数众数．
故选：．
利用极差，众数，中位数的定义计算即可．
本题考查极差，众数，中位数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，则为锐角，且，
因为，由正弦定理可得．
故选：．
利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理可求得的值．
本题考查正弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，得，
由，得，即，
，
由“”“”，反之不成立，
“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
分别求解一元二次不等式与绝对值的不等式，可得由“”“”，反之不成立，再结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查一元二次不等式与绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

利用对数和指数的运算求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题．

【解答】

解：，，
，，
，，
，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：设事件为“他们的座位正好相邻”，
甲乙二人买到同一排，，，，个座位中的两个形成的样本空间为，
则，共包含个样本点，
其中事件，包含个样本点，则有，
所以他们的座位正好相邻的概率为．
故选：．
根据给定条件，利用古典概率公式结合列举法求解作答．
本题考查了古典概型概率计算相关知识，属于简单题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接、，
由于圆锥的底面半径为，即，
而，故AB，
同时，
中，，为的中点，则有，
又由的面积等于，即，变形可得，
而，则有，解可得，
故该圆锥的体积
故选：．
根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接，利用余弦定理求出的长，分析可得，由三角形面积公式求出的长，由此求出的值，由圆锥的体积计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积计算公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
可得，
在中，，
所以塔高．
故选：．
由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：复数，，
对于，在复平面内对应的点位于第二象限，故A错误；
对于，为纯虚数，
则，解得，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，复数是方程的一个根，
则也是方程的一个根，
故，解得负值舍去，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算，复数模公式，复数的几何意义，纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算，复数模公式，复数的几何意义，纯虚数的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由余弦的倍角公式，可得，所以不正确；
对于，由正切的倍角公式，可得，所以B正确；
对于，由正弦的倍角公式，可得，所以C正确；
对于，由，所以不正确．
故选：．
根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解．
本题考查二倍角的三角函数及三角恒等变换及其应用，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，举例，在存在零点，但是，不满足，故A错误；
对于，因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“，”的否定是“，”，故B正确；
对于，若角的终边经过点，则，故C正确；
对于，已知正实数，满足，则，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确．
故选：．
举反例可知A错误，由全称命题的否定为特称命题可判断，由任意角的三角函数的定义可判断，利用基本不等式可判断．
本题主要考查了命题的否定，考查了基本不等式的应用，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：：，分别是，的中点，
，故A正确；
：由平面几何得，又，
平面，故B正确；
：与平面有交点，
不存在点，使平面平面，故C错误；
：三棱锥以面为底，则高是定值，
三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：．
本题利用中位线定理以及线面垂直，三棱锥的特征求解．
本题考查了线线平行，线面垂直，以及三棱锥特征及体积的求法，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：记事件：两人中有人患感冒，则：两人中没有人患感冒．
所以，
所以，
故答案为：．
由两人中有人患感冒的对立事件为两人中没有人患感冒，故利用对立事件求解即可．
本题主要考查相互独立事件和对立事件，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，又，且，
，即．
故答案为：．
由已知求得，再由向量共线的坐标运算列式求得值．
本题考查向量坐标的加减与数乘运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作平面于，由已知可得，
设直线与平面的交点为，可得为直线与平面所成的角，
，在中，可得，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
与交点的轨迹长度为

故答案为：
过作平面于，由已知可得，设直线与平面的交点为，由题意可得，可求与交点的轨迹长度．
本题考查点的轨迹长度的求法，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以，
所以该圆锥的内切球的表面积为．

故答案为：．
根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得．
本题考查球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“恰有人通过测试”，则，
由于事件，均相互独立，
因此．
设事件“至少有人通过测试”，则事件的对立事件为：人都没有通过测试，
因此． 

【解析】设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求解．
利用对立事件及相互独立事件的概率公式即可求解．
本题主要考查相互独立事件，属于基础题．
 

18.【答案】解：函数，
，，
，
解得：或
所以的取值范围是． 

【解析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．
根据分段函数的表达式，讨论的取值范围进行求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，利用代入法是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：，
的最小正周期为，
当时，取最大值为．
由得，，
当时，，
从而当，
即时，单调递增，
当，即时，单调递减．
综上可知，在上单调递增；在上单调递减． 

【解析】结合向量的数量积与三角函数的辅助角公式化简，得到，即可求解；
中，结合正弦函数单调性求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，考查正弦函数的周期、最值及单调性，是中档题．
 

20.【答案】解：若选：
，，
则，
，；
因为，为锐角三角形，
所以，，
又因为，代入解得，
在中，，
所以，
由可得，
所以，所以，
即的取值范围是．
若选：
，
，
，即，
，；
则；
因为，为锐角三角形，
所以，，
又因为，代入解得，
在中，，
所以，
由可得，
所以，所以，
即的取值范围是．
若选：
，
，即，
解得，
，；
因为，为锐角三角形，
所以，，
又因为，代入解得，
在中，，
所以，
由可得，
所以，所以，
即的取值范围是． 

【解析】选：整理条件，结合余弦定理可求得，从而得解；
选：利用正弦定理整理条件可得，从而得解；
选：结合诱导公式与同角三角函数的平方关系，可解，从而得解；
本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正弦定理、诱导公式和二倍角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】证明：Ⅰ取中点并连接，，
因为是的中点，所以，且．
因为是的中点，所以，且，
故A，且，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面平面，
所以平面．

解：Ⅱ连接，因为，，是的中点，
所以，所以，所以同理可得，所以D.
因为，又，所以面，
所以二面角的平面角为．
因为平面，所以，因为直三棱柱，所以面，
又平面，所以又，所以面，因为平面，
所以，易求，在中可求，．
(ⅱ)因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
因为，所以，即，解得，
所以直线到平面的距离为． 

【解析】本题考查线面平行的判定定理、二面角的大小的求法、点到平面的距离，考查学生的空间想象能力和运算能力，属于中档题．
Ⅰ取中点并连接，根据已知条件可证出四边形为平行四边形，进而得出结论；
Ⅱ连接，由题意可知二面角的平面角为，在中即可求出所求的二面角的正切值；
(ⅱ)由平面可得：直线到平面的距离等于点到平面的距离，采用等体积法即可得出直线到平面的距离．
 

22.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
少年组人数为人，频率，
总人数人，
，
，．
平均速度为：
．
估计本次大赛的平均速度为千米小时．
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，
设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，
则，
解得，，
由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，
设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，
从中抽取人均来自成年组的所有结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，共种，
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
，，，，，，共种，
接受采访的人都来自成年组的概率为． 

【解析】由频率分布直方图列方程，求出，利用少年组人数为人，频率为，能求出总人数，由此能求出．
由频率分布直方图能估计本次大赛的平均速度．
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，利用分层抽样的性质列方程能求出由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，从中抽取人，利用列举法能求出接受采访的人都来自成年组的概率．
本题考查到频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．