广东省深圳市宝安区冠华育才学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市宝安区冠华育才学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了若，则下列不等式成立的是，不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。
1．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C． D．
4．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ）
A．12B．8C．24D．11
7．如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（ ）
A．∠ABC=2∠CB．∠ABC=∠CC．∠ABC=∠CD．∠ABC=3∠C
10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题，每题3共，共15分）
11．若x是非正数，则x 0．（填不等号）
12．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．
13．如图，的两边的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数为 ．
14．命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题 ．
15．矩形中，E是的中点，将折叠后得到，延长交于点F，，，则的长为 ．

三．解答题（共8小题）
16．（1）解不等式：
（2）解不等式组：．并在数轴上表示其解集．
17．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，，表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定仓库P修建的位置．
18．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
19．已知：如图，平分，，，垂足分别为点F，G，是的垂直平分线．
求证：．
20．已知一次函数经过点，与x轴交于点A．
(1)求b的值和点A的坐标；
(2)画出此函数的图像；观察图像，当时，x的取值范围是________；
(3)若点C是y轴上一点，的面积为6，则点C点坐标是多少？
21．某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？
22．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？
(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理．根据三角形的内角和为，即可判断A、D；根据平方差公式和勾股定理，即可判断C；根据勾股定理，即可判断B．
【解答】解：A、∵，，
∴，解得：，
能判定是直角三角形，不符合题意；
B、设，
，
能判定是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴，
能判定是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴，，，
不能判定是直角三角形，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系．分类讨论，这个边长可能为底边长也可能为腰长．
【解答】解：当底边为2时，腰长，符合题意；
当腰长为2时，底边，而，，不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【解答】∵，
∴不一定成立，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D符合题意；
故选D．
4．B
【分析】根据不等式在数轴上表示为一些区间，大于等于小于等于为实心点，大于和小于为空心点即可解答．
【解答】解：∵不等式的解集为，
∴符号是大于，有等号，
∴方向向右，起点是实心点，
故选．
【点拨】本题考查了在数轴上表示不等式，熟记在数轴上表示不等式的方法是解题的关键．
5．A
【分析】先移项，再系数化为1即可得出答案.
【解答】
故答案选择A.
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，比较简单，需要熟练掌握解不等式的步骤.
6．A
【分析】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度．过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：过D作于E，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴
故选：A．
7．A
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出．
【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D，
，
∵点P是，的垂直平分线的交点，
，
，，，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出与轴的交点坐标．根据点A的坐标找出值，令一次函数解析式中求出值，从而找出与轴的交点坐标，观察函数图象，找出在轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【解答】解：一次函数的图象与轴交于点，
，
令中，则，
解得：，
的图象交轴于点．
观察函数图象，发现：
当时，一次函数图象在轴上方，
不等式的解集为．
故选：A．
9．D
【分析】延长BM到E，证明△ABF≌△AEM，利用线段长度推出△BCE是等腰三角形，再根据角度转换求出即可．
【解答】证明∶如图，延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM=∠EAM，∠AMB=∠AME
又∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM，
∴BM=ME，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BM+ME=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC．
∴∠ABE=2∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C．
故选D．
【点拨】本题考查三角形综合题型，关键在于作出合理的辅助线．
10．D
【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长．
【解答】解：由题可得：
，
，
，
解得：，
故选：D．
11．≤
【分析】直接利用非正数的定义得出答案．
【解答】解：由题意可得：x≤0．
故答案为：≤．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确把握非正数的定义是解题关键．
12．10
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化，求出即可．
【解答】解：为的平分线，为的平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
，，
周长为
，
故答案为：10．
13．
【分析】根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE=150°，即 180°-∠BAC+2∠DAE=150°，再与∠BAC+∠DAE=150°联立解方程组即可．
【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．
∵∠BAC+∠DAE=150°，①
∴∠B+∠C+2∠DAE=150°．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°，
即∠BAC-2∠DAE=30°．②
由①②组成的方程组，
解得∠BAC=110°．
故答案为：110°．
【点拨】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系．
14．重心与内心重合的三角形是等边三角形
【分析】根据逆命题的定义写出即可得到．
【解答】解：命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是重心与内心重合的三角形是等边三角形．
故答案为：重心与内心重合的三角形是等边三角形．
【点拨】考查了四种命题及其关系，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
15．
【分析】首先过点E作于M，交于N，易证得，是的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得，由折叠的性质，可得，继而求得的值，又由勾股定理，即可求得的长．
【解答】解：过点E作于M，交于N，

∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．（1）；（2），作图见解答
【分析】本题考查解一元一次不等式及解一元一不等式组，准确解一元一次不等式是正确解决本题的关键．
（1）先去分母再移项、合并同类项即可；
（2）先正确解出每一个不等式，再确定它们解集的公共部分，最后在数轴上表示此不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）解不等式：
去分母得，，
移项、合并同类项得；
（2）解不等式组：．
解不等式①得，
，
解不等式②得，
，
所以这个不等式组的解集是，
将这个不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
17．见解答
【分析】连接，分别以M、N为圆心，以大于为半径画弧，在线段两侧交于D，E两点，连接，即为线段的垂直平分线；以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于F，连接，则即为的平分线（或的外角平分线）；与相交于点P，则点P即为所求．
【解答】解：如图点P即为所求．
【点拨】本题主要考查的是尺规作图，角平分线和线段垂直平分线的画法及性质的有关知识．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及三角形内角和：
（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；
（2）由三角形的外角的性质，，在中，利用三角形内角和即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【解答】（1）证明：连接，
垂直平分，
，
，
，
是的中点，
．
（2），
，
∴由三角形的外角的性质，，
，
，
在中，，
，
．
19．见解答
【分析】首先，根据角平分线的性质和垂直的关系，得到对应角和边的关系，依据线段的垂直平分线的性质，得到，根据直角三角形的全等判定，可证明三角形全等，即可得到答案。
本题侧重考查全等三角形的性质，掌握角平分线的性质和垂直的关系是解题的关键．
【解答】证明：连接．
是的平分线，，，
．
又垂直平分，
．
．
．
20．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点A的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线即可，根据图象，即可确定x的取值范围；
（3）先求出的值，根据三角形的面积公式求得的值，即可得出点C的坐标．
【解答】（1）∵一次函数经过点，
∴．
∵当时，，
解得．
∴．
（2）由（1）知，，
画图如下：
即为所求；
由图知，当时，x的取值范围是
（3）∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴C的坐标为或．
【点拨】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键．
21．(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元
(2)33个
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的最大值．
【解答】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球个，则采购足球为个，
要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
，
解得，
为整数，
的最大值为33，
即最多采购篮球33个．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
22．(1)
(2)点M、N运动4秒时，可得到等边；
(3)当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形；
（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
得方程，
解得,
答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合；
（2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①，
，，
是等边三角形，
，
解得，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边．
（3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
情况一：
设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
，
解得：；
即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形；
情况2：
如图②，假设是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形，
，，，
即，
解得：．
综上所述，故假设成立．
∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，
此时M、N运动的时间为16秒．