2023-2024学年广东省深圳市宝安区沙井中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市宝安区沙井中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.式子从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2−1=x⋅x−1B. x2+2xy+1=x(x+2y)+1
C. a2b+ab3=ab(a+b2)D. x(x+y)=x2+xy
3.下列不等式变形正确的是( )
A. 由a>b，得a−2b，得a2>b2
C. 由a>b，得|a|>|b|D. 由a>b，得−2a<−2b
4.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是( )
A. −15.如果分式xyx+y中的x、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中，正确的是( )
A. 分式的值不变B. 分式的值缩小为原来的12
C. 分式的值扩大为原来的2倍D. 分式的值扩大为原来的4倍
6.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A. 8cmB. 13cmC. 8cm或13cmD. 11cm或13cm
7.下列命题中正确的有个．( )
(1)等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合；(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；(4)等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长为16．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为( )
A. 8x+15=82.5xB. 8x=82.5x+15C. 8x+14=82.5xD. 8x=82.5x+14
9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为( )
A. 10
B. 4
C. 2 5
D. 5
10.把一副三角尺按如图①所示位置放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，DC=14，把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1如图②)，此时AB与CD1相交于点O，则线段AD1的长为( )
A. 6 2B. 10C. 12D. 85
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解5a2−a= ______．
12.由深圳到广州的一条铁路全程约为146千米，高铁全程运行时间为a小时，则高铁的速度是每小时______千米．
13.△ABC中，BC=6，∠A=∠B=60°，那么△ABC的面积是______．
14.如图，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A(−3,−1)，则不等式mx+215.如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1，则AD的长是______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解下列一元一次不等式(组)：
(1)5x≥3x+1；
(2)2x−1<−x+2x−12<1+2x3并把它的解集表示在数轴上．
17.(本小题5分)
解方程：xx−3+2=33−x．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1，其中x=2．
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).其中A(1,1)、B(4,1)、C(5,3)．
(1)将△ABC向上平移1格，向左平移5格，得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；
(2)写出B′和C′的坐标；
(3)计算△A′B′C′的面积．
20.(本小题8分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
21.(本小题10分)
【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
②(x−4)(x+1)=x2−3x−4；
③(y−5)(y−3)=y2−8y+15．
通过以上计算发现，形如(x+p)(x+q)的两个多项式相乘，其结果一定为x2+(p+q)x+pq.(p,q为整数)
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，即可将形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解成(x+p)(x+q)(p、q为整数)．
例如：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)．
【初步应用】(1)用上面的方法分解因式：x2+6x+8= ______；
【类比应用】(2)规律应用：若x2+mx+8可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______；
【拓展应用】(3)分解因式：(x2−4x)2−2(x2−4x)−15．
22.(本小题10分)
(一)问题探究
已知：在锐角△ABC中，∠ABC=45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，分别连结CD、BE、BD、CE．
(1)如图①，当0°(2)如图②，当n=90°时，
①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
②若AB=7，BC=3，求BD的长；
(二)解决问题
如图③，在四边形ACBD中，AB=7，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，请直接写出线段BD的长.(不说理由)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】D
【解析】解：A、由a>b，根据不等式的性质1，两边同时减去2可得a−2>b−2，故此变形错误；
B、由a>b，得a2>b2，错误，两边所乘的整式不相同，也不相等，故此变形错误；
C、由a>b，得|a|>|b|，错误，例如：−2>−5，但是|−2|<|−5|，故此变形错误；
D、由a>b，得−2a<−2b正确；
故选：D．
根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】C
【解析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集．看图易知选：C．
5.【答案】C
【解析】解：把分式xyx+y中的x、y都扩大到原来的2倍，
则原式可变为：2x⋅2y2x+2y=4xy2(x+y)=2xyx+y，
故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：C．
直接利用分式的性质化简得出答案．
此题主要考查了分式的基本性质，能够正确化简分式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对腰长和底边长进行分类讨论是解题的关键．
分：当3cm是腰长时，当5cm是腰长时，两种情况进行讨论，再用三角形的三边关系验证即可．
【解答】
解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是11cm；
当5cm是腰长时，5，5，3能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是13cm．
则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，故原命题错误，不符合题意；
(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，符合题意；
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，正确，符合题意；
(4)等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长为16或17，故原命题错误，不符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
利用等腰三角形的性质、角平分线的判定、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定答案．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、角平分线的判定、等边三角形的判定等知识，难度不大．
8.【答案】D
【解析】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，乘公交车平均每小时走x千米，
∴乘电动汽车平均每小时走2.5x千米．
依题意得：8x=82.5x+1560，
即8x=82.5x+14．
故选：D．
根据乘电动汽车与乘公交车速度间的关系，可得出乘电动汽车平均每小时走2.5x千米，利用时间=路程÷速度，结合乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接AA′，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，
∴∠A′C′B=∠C=90°，A′C′=AC=3，AB=A′B，
根据勾股定理得：
AB= BC2+AC2=5，
∴A′B=AB=5，
∴AC′=AB−BC′=1，
在Rt△AA′C′中，由勾股定理得：
AA′= AC′2+A′C′2= 10，
故选：A．
连接AA′，由旋转的性质得出AC′、A′C′的长度，利用勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，△ACB是等腰直角三角形，
∵把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1，
∴CD=C1D=14，∠BCE1=15°，
∴∠BCO=45°=∠ABC，
∴∠BOC=90°，
即CO⊥AB，
又∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO=BO=6=CO，
∴OD1=8，
∴AD1= AO2+D1O2= 36+64=10，
故选：B．
由旋转的性质可得CD=C1D=14，∠BCE1=15°，由等腰直角三角形的性质可求AO=BO=6=CO，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
11.【答案】a(5a−1)
【解析】【分析】
本题考查因式分解−提公因式法．
先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】
解：5a2−a=a(5a−1)．
故答案为a(5a−1)．
12.【答案】146a
【解析】解：∵路程=速度×时间，
∴高铁的速度是每小时146a千米，
故答案为：146a．
根据“路程=速度×时间”进行变式、求解．
此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解并运用实际问题间的数量关系．
13.【答案】9 3
【解析】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
在△ABC，∠A=∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6,BD=12BC=3，
∴AD= AB2−BD2=3 3，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×3 3=9 3，
故答案为：9 3．
过点A作AD⊥BC于D，先证明△ABC是等边三角形，得到AB=BC=6,BD=12BC=3，再由勾股定理得到AD= AB2−BD2=3 3，据此利用三角形面积计算公式求解即可．
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，解答本题的关键是作出恰当的辅助线，构造直角三角形．
14.【答案】x<−3
【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A(−3,−1)，
∴不等式mx+2故答案为：x<−3．
不等式mx+2本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
在△ABE和△CAD中
AB=AC∠BAE=∠C=60°AE=CD
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴AD=BE，∠CAD=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∵在Rt△BQP中，∠BQP=90°，PQ=4，∠PBQ=180°−90°−60°=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=8+1=9，
故答案为：9．
根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，根据全等三角形的判定得出△ABE≌△CAD，根据全等三角形的性质得出AD=BE，∠CAD=∠ABE，求出∠BPQ=∠BAC=60°，求出∠PBQ=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BP，即可求出答案．
本题考查了等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
16.【答案】解：(1)∵5x≥3x+1，
∴5x−3x≥1，
则2x≥1，
∴x≥12；
(2)由2x−1<−x+2，得：x<1，
由x−12<1+2x3，得：x>−5，
则不等式组的解集为−5将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：原方程去分母得：x+2(x−3)=−3，
整理得：3x−6=−3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−3=1−3=−2≠0，
故原分式方程的解为x=1．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1
=x−3(x+3)(x−3)⋅2(x+3)x−1−1x+1
=2x−1−1x+1
=2(x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)
=2x+2−x+1(x−1)(x+1)
=x+3(x−1)(x+1)，
当x=2时，原式=2+3(2−1)×(2+1)=53．
【解析】先计算分式的除法，再算分式的减法，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如下图，△ABC即为所求；

(2)由图象可知，B′(−1,2)、C′(0,4)；
(3)△A′B′C′的面积S=12×3×2=3．
【解析】(1)根据平移的性质确定点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
(2)结合图象即可获得答案；
(3)根据三角形面积公式求解即可．
本题主要考查了平移变换、坐标与图形等知识，正确画出△A′′B′′C′′是解题关键．
20.【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是(x+2)元，
根据题意得：240x+2=200x，
解得x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)由(1)可知，x+2=12，
设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子(400−m)千克，
根据题意得：12m+10(400−m)≤4600，
解得：m≤300，
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【解析】(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是(x+2)元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子(400−m)千克，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】【初步应用】(x+2)(x+4)；
【类比应用】±6或±9；
【拓展应用】
(x2−4x)2−2(x2−4x)−15
=(x2−4x)2+(−5+3)(x2−4x)+(−5)×3
=(x2−4x−5)(x2−4x+3)
=[x2+(−5+1)x+(−5)×1][x2+(−3−1)x+(−3)×(−1)]
=(x−5)(x+1)(x−3)(x−1)．
【解析】解：【初步应用】
x2+6x+8
=x2+(2+4)x+2×4
=(x+2)(x+4)，
故答案为：(x+2)(x+4)；
【类比应用】
∵8=1×8=2×4=(−1)×(−8)=(−2)×(−4)，
∴x2+(8+1)x+8=(x+8)(x+1)，
x2+(2+4)x+8=(x+2)(x+4)，
x2+(−1−8)x+8=(x−1)(x−8)，
x2+(−2−4)x+8=(x−2)(x−4)，
∴m=8+1=9或2+4=6或−1−8=−9或−2−4=−6，
∴整数m的值可能是±6或±9，
故答案为：±6或±9；
【拓展应用】见答案．
(1)按照已知条件中方法进行分解因式即可；
(2)先找出乘积为8的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出m的值即可；
(3)按照已知条件中的方法，先把−15分解成−5×3，然后把多项式进行第一次分解因式，再把−5分解成−5×1，3分解成−3×(−1)，进行第二次分解因式即可．
本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
22.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ABD(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
(2)①BD=CE，理由如下：
∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ABD(SAS)，
∴BD=CE；
②∵AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，BE= 2AB=7 2，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°，
∴EC= BE2+BC2= 98+9= 107，
∴BD= 107；
(3)如图③，过点A作AH⊥AB，交BC的延长线于H，
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∵∠ABC=45°，AH⊥AB，
∴∠ABC=∠H，
∴AB=AH=7，
∴BH=7 2，
∴CH=BH−BC=7 2−3，
∵∠DAC=∠BAH=90°，
∴∠DAB=∠CAH，
∴△ADB≌△ACH(SAS)，
∴BD=CH=7 2−3．
(1)由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得BD=CE；
(2)①由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得BD=CE；
②由勾股定理可求解．
(3)由“SAS”可证△ADB≌△ACH，可得BD=CH=7 2−3．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．