2023-2024学年广东省广州九十七中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州九十七中八年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
3．（3分）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形
4．（3分）如图，AB与CD相交于点E，△ADE≌△CBE，∠A＝70°，∠B＝30°，则∠AEC的度数为（ ）
A．40°B．70°C．80°D．100°
5．（3分）已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（2，3）D．（3，2）
6．（3分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65°B．50°C．60°D．57.5°
7．（3分）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝2，BC＝6，AC＝9
B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°
D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
8．（3分）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共6小题，共18分）
11．（3分）自行车的三角形车架可以固定，利用的原理是 ．
12．（3分）如图，在△ADC与△BDC中，∠1＝∠2，加上条件 （只填写一个即可），则有△ADC≌△BDC．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是 ．
14．（3分）点（3，a）和点（b﹣a，2）关于y轴对称，则b﹣2a＝ ．
15．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AD是中线，点E是AC边上一点，若△ADE是等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
16．（3分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝ ．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（6分）已知：如图，AB＝CD，AD＝BC，求证：AD∥BC．
18．（6分）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°．
（1）求这个多边形的边数；
（2）如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是 ．
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：点E在CD的垂直平分线上；
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
20．（6分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照以下设计要求，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置（尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）．
（1）发射塔P到两个城镇A，B的距离必须相等；
（2）发射塔P到两条公路m，n的距离也必须相等；
（3）发射塔P，既要满足（1）的条件，也要满足（2）的条件．
21．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标 ；
（3）通过画图，在y轴上找一个点D，使得AD+BD最小．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向匀速运动，设点B的运动时间为t秒，过点B作CB⊥AB，且CB＝AB．
（1）若∠CBO＝60°，求AB的长度；
（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）．
23．（10分）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE．
（1）求证：AE是∠DAB的角平分线；
（2）求证：点E是BC的中点；
（3）若CD＝2，AB＝4，，点N是AD上的动点，求BN的最小值．
24．（12分）如图，C是线段AB上一点，且△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE，BD相交于点O，AE，BD分别交CD，CE于M，N，连接MN，OC．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求∠EOB的度数；
（3）求证：OE+OC＝OB．
25．（12分）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
2023-2024学年广东省广州九十七中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
【解答】解：设第三边的长为xcm，
则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴四根木棒中，长度为5cm的木棒，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3．【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
4．【分析】根据全等三角形的性质、三角形外角性质求解即可．
【解答】解：∵△ADE≌△CBE，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°，
∵∠AEC＝∠B+∠C，∠B＝30°，
∴∠AEC＝100°，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
5．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，
∴Q点的坐标为：（3，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的性质是解题关键．
6．【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
7．【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【解答】解：A、2+6＝8＜9，不满足三边关系，本选项不符合题意；
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，
C、没有边的条件，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意；
D、边角边，能确定唯一三角形．本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
10．【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④正确．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（共6小题，共18分）
11．【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：自行车的三角形车架可以固定，利用的原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
12．【分析】题目已知∠1＝∠2，CD是公共边，根据全等三角形的判定，可添加条件AD＝BD，利用SAS即可证明△ADC≌△BDC．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如还可以添加条件∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCD．
【解答】解：加上条件AD＝BD（答案不唯一），则有△ADC≌△BDC．
理由是：
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
故答案为：AD＝BD（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是×DE×BC＝×10×3＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
14．【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵点（3，a）和点（b﹣a，2）关于y轴对称，
∴a＝2，b﹣a＝﹣3，
解得a＝2，b＝﹣1，
∴b﹣2a＝﹣1﹣4＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
15．【分析】利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，再利用等腰三角形的三线合一的性质可得∠CAD＝30°，∠ADC＝90°，然后分三种情况：当AD＝AE时，当EA＝ED时，当DA＝DE时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠ADC＝90°，
分三种情况：
当AD＝AE时，如图：
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°；
当EA＝ED时，如图：
∴∠EAD＝∠EDA＝30°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠EDA＝60°；
当DA＝DE时，点E落在AC的延长线上，
∴不符号题意；
综上所述：∠EDC的度数是15°或60°，
故答案为：15°或60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
16．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角需要小于90°即可求解．
【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故答案为：9．
【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．【分析】连接 BD，证明△ABD≌△CDB（SSS），由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠CBD，则可得出结论．
【解答】证明：如图，连接 BD，
在△ABD 和△CDB 中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．【分析】（1）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°，外角和是360度，因而内角和是1800度．n边形的内角和是（n﹣2）⋅180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n；
（2）根据正多边形每个内角相等，用多边形的内角和除以边数计算即可．
【解答】解：（1）设此多边形的边数为n，则：（n﹣2）⋅180＝1440+360，
解得：n＝12．
答：这个多边形的边数为12．
（2）这个正多边形的每一个内角是：．
【点评】本题考查多边形内角和与外角和，正多边形，熟练掌握多边形内角和与外角和是解题的关键．
19．【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证△ECD是等腰三角形，从而可得ED＝EC，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠CDE＝∠DCB＝35°，然后再利用角平分线的定义可得∠ACB＝2∠DCB＝70°，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB＝70°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴ED＝EC，
∴点E在CD的垂直平分线上；
（2）解：∵∠CDE＝35°，
∴∠CDE＝∠DCB＝35°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠DCB＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝40°，
∴∠A的度数为40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
20．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，在S区域上的点都符合题意；
（2）作直线m与n的夹角的角平分线，
（3）以上所作两线的交点就是 P点．
【解答】解：（1）作线段AB的垂直平分线，线段MN上的点（端点除外）就是点P的位置；如下图所示：
（2）作直线m与n的夹角的角平分线OQ，OQ上的点，不含点O就是P的位置；如下图所示：
（3）以上所作两线的交点就是 P点，如下图所示：
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
21．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）由（1）得到C1的坐标；
（3）作A点关于y轴的对称点A′，连接AA′交y轴于D点，则D点满足条件．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；
（2）点C1的坐标为（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）；
（3）如图，点D即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
22．【分析】（1）由∠CBO＝60°，CB⊥AB得∠ABO＝30°，在Rt△AOB中，OA＝2，即得AB＝4，即可得出结果；
（2）过C作CD⊥OB于D，由CB⊥AB，得∠ABO＝∠BCD，可证明△CDB≌△BOA（AAS），得出BD＝OA＝2，CD＝OB，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵∠CBO＝60°，CB⊥AB，
∴∠ABO＝30°，
∵∠AOB＝90°，OA＝2，
∴AB＝2OA＝4，
∵BC＝AB，
∴AB＝4，
故答案为：4；
（2）过C作CD⊥OB于D，如图所示：
则∠CDB＝90°，
∵∠BOA＝90°，
∴∠CDB＝∠BOA，
∵CB⊥AB，
∴∠ABO＝90°﹣∠CBD＝∠BCD，
在△CDB和△BOA中，
，
∴△CDB≌△BOA（AAS），
∴BD＝OA＝2，CD＝OB，
由已知可得OB＝t，
∴CD＝t，OD＝OB﹣BD＝t﹣2，
∴C的坐标为：（﹣t，t﹣2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．【分析】（1）延长DE交AB的延长线于点F，先证AD＝AF，再证△CDE≌△BFE（AAS），得出DE＝FE，即可得出结论；
（2）由（1）得△CDE≌△BFE，即可得出结论；
（3）连接BD，过点B作BN⊥AD于点N，则此时，BN最短，易证四边形ABCD是梯形，求出S梯形ABCD＝12，S△BCD＝4，S△ABD＝S梯形ABCD﹣S△BCD＝8，AD＝AB+CD＝6，再由S△ABD＝AD•BN，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB的延长线于点F，
∵∠C＝∠ABC＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AFD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD，AF＝AB+BF，
∴CD＝BF，
在△CDE和△BFE中，
，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，
又∵AD＝AF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴AE是∠DAB的角平分线；
（2）证明：由（1）得：△CDE≌△BFE，
∴CE＝BE，
∴点E是BC的中点；
（3）如图2，连接BD，过点B作BN⊥AD于点N，
则此时，BN最短，
∵∠C＝∠ABC＝90°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∵S梯形ABCD＝•BC＝×4＝12，
S△BCD＝CD•BC＝×2×4＝4，
∴S△ABD＝S梯形ABCD﹣S△BCD＝12﹣4＝8，
∵AD＝AB+CD＝4+2＝6，
∴S△ABD＝AD•BN＝×6×BN＝3BN，
∴3BN＝8，
∴BN＝，
∴BN的最小值为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、梯形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积和梯形面积公式等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂线段最短以及三角形面积、梯形面积公式是解题的关键．
24．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，进而得到∠ACE＝∠DCB，证明△ACE≌△DCB即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AEC＝∠DBC，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（3）在线段BO上截取OM＝OE，连接EM，证明△BEM≌△CEO（SAS），根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，
∵∠EOB+∠ONE+∠OEN＝∠BCE+∠BNC+∠CBN＝180°，∠ONE＝∠BNC，
∴∠EOB＝∠BCE＝60°；
（3）证明：在线段BO上截取OF＝OE，连接EF，
∵OF＝OE，∠BOE＝60°，
∴△EOF为等边三角形，
∴EF＝EO，∠FEO＝60°，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，BE＝EC，
∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠CEO＝60°，
∴∠BEF＝∠CEO，
在△BEF和△CEO中，
，
∴△BEF≌△CEO（SAS），
∴BF＝OC，
∵OB＝BF+MO，
∴OB＝OC+OE．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；
（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【解答】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS）
∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，
理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，
∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，
，
∴△OBH≌△OBG（SAS）
∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，
∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，
∴∠BOG＝∠BOH＝60°，
∴∠DOF＝∠BOG＝60°，
∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，
，
∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．