2025届辽宁省名校联合体高三(上)期中检测数学试卷（解析版）

这是一份2025届辽宁省名校联合体高三(上)期中检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，解得或，
即或，则.
故选：C.
2. 设复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由，
则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
3. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ）
A. 7B. 5C. 3D. 1
【答案】C
【解析】由题意可得，
又正项等差数列的公差为d，已知，
所以，即，
解得或（舍去），
故选：C.
4. 若，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：D
5. “”是“函数在区间内存在零点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由函数在区间内存在零点得，解得或
所以“”是“函数在区间内存在零点”的充分不必要条件，
故选：A
6. 函数是奇函数，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是奇函数，
故，
则，解得，经验证符合.
故选：D
7. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
整理得①，
又，所以②，
联立①②求解得，
所以.
故选：B.
8. 函数，若对x∈R恒成立，且在上恰有条对称轴，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】由题知，当时取得最大值，即，
所以，即，
又在上有条对称轴，所以，
所以，所以.
故选：B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( ).
A. B. 为等差数列
C. 不可能为常数列D. 若为递增数列，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项：当时，，A正确；
对于B选项：当时，，
显然时，上式也成立，所以.
因为，
所以是以2k为公差的等差数列，B正确：
对于C 选项，由上可知，当时，为常数列，C错误；
对于D选项，若为递增数列，则公差，即，D正确.
故选：ABD .
10. 已知关于不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. ab最大值为
C. 的最小值为4D. 有最小值
【答案】AB
【解析】由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，
所以，所以A正确：
因为，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确：
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，所以C错误；
对于选项D：，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，故D错误．
故选：AB
11. 已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 4是的一个周期
C. D. 的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】因为为偶函数，所以，即，
而，故，故，
又为偶函数，所以，即，
所以，故即，
，所以4是的周期，故B正确.
对A，由两边求导得，
令得，解得，A正确：
对C，由上知，所以，
所以C错误；
对D，因为，
故，故的图象关于对称，因为4是的周期，故的图象关于点对称
故选：ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 曲线在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为，则，
又，所以，
所以曲线在处的切线方程为．
故答案：
13. 已知为锐角，，则______．
【答案】
【解析】因为为锐角，所以.
若，则，这与矛盾，
故为钝角，故，
则
.
故答案为：.
14. 已知a，b为实数，，若恒成立，则的最小值为______．
【答案】
【解析】依题意，函数与在上都单调递增，
且函数的值域是R，，不等式恒成立，
当且仅当函数与有相同的零点，因此，
由得，由得，于是得，
则，令，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上递减，在上递增，
当时，，
从而得，
所以ab的最小值为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数.
（1）求函数最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的值域.
解：（1）因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
16. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若点到直线的距离为的面积为，求的周长.
解：（1）由余弦定理角化边得，，整理得，
所以，
因为，所以
（2）由题知，，即，
由三角形面积公式得，所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
17. 已知数列的前项和为，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足的前项和为是等差数列，．求．
解：（1）由已知得，又,
所以作差得，故.
所以
又当时，，又，故
故数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知：，故，
又也满足上式，故
因为是公差为的等差数列，，
可得，
则，可得，
则；
因为，
所以，
设，
，
相减可得，
化为，
则.
18. 已知函数.
（1）若在恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，证明：存在唯一极小值点，且.
解：（1）在恒成立，等价于在上恒成立，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以，即的取值范围.
（2）当时，，
则，
因为在上均为增函数，所以在单调递增，
又，
所以在区间存在，使得，
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以存在唯一极小值点
因为，即，所以，
因为，且在上单调递增，
所以，
又，所以，所以．
19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“函数”.
（1）若是上的“函数”，求的取值范围；
（2）（i）证明：是上的“函数”；
（ii）设，证明：.
（1）解：由题可知任意，且，
即，解得.
因为，所以，即的取值范围为.
（2）（i）证明：设，
则.
令，且，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“函数”.
（ii）证明：由（i）可知，当时，，
令，则，
即.
故，
化简可得.