2025届山东省名校考试联盟高三(上)期中检测数学试卷（解析版）

这是一份2025届山东省名校考试联盟高三(上)期中检测数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
，
所以，
故选：C
2. 若（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为（为虚数单位）是关于的方程的一个根
所以，也是关于的方程的一个根，
所以，由韦达定理得：，
所以，.
故选：B
3. 已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（ ）
A. B. .C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由于，，三点共线，所以与共线.
存在实数，使得，即.
因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则.
由，将其代入可得.故选：D.
4. 设，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，，故是的充要条件；
对于B，由得，能推出，则充分性成立，反之不成立，则必要性不成立，所以是的充分不必要条件；
对于C，由无法得到，之间的大小关系，则充分性不成立，反之也是，则必要性不成立，所以是的既不充分也不必要条件；
对于D，由不能推出，则充分性不成立，反之不成立，则必要性不成立，所以是的既不充分也不必要条件．
故选：B．
5. 已知数列满足，，则数列的前8项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知，等式两边同时除以，得到.
因为，所以，那么数列是以为首项，为公差的等差数列.
得，则.
.
求数列的前项和
.
故选：A.
6. 若，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因，所以.又，所以.
根据，得，同时也能确定.
因为，，，所以.
.
将转化为.
所以

因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故选：C.
7. 用表示，，中的最小数，若函数为偶函数，且当时，，则的极值点的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由，，
可得函数的大致图象，
由图象可知当时，有两个极值点，由对称性可知当时，也有两个极值点，
同时由图象可知：也是极值点，
所以共有5个极值点.
故选：D
8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4，
因为是上的奇函数，所以，即关于点对称，
于是，，
由，取得，即，
则，因此，取，得，
于是
，
因此，.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，两条相邻对称轴之间的距离为，且，则（ ）
A. B.
C. 关于对称D. 在上单调递增
【答案】ABD
【解析】因为函数的两条相邻对称轴之间的距离为，
所以，则，即，故A正确；
此时，
又，则，
即，因为，所以，故B正确；
此时，
因为，所以关于对称，故C错误；
当时，，
因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
10. 记内角，，的对边分别为，，，已知，，若为的外心，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】的外心即为外接圆的圆心，即三边中垂线的交点，
所以，故A正确；
取的中点，连接，所以，故C正确；
因为
，故B错误；
因为为的外心，
则可设的外接圆半径为，，，
，故，
同理，，
又，
即.
所以，
即，故D错误；
其中（奔驰定理）的证明如下：
如图延长与边相交于点则
所以，
又，
又，
所以，
所以，
所以.故选：AC.
11. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则（ ）
A. 存在点使得
B. 的最小值为
C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12
D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A:
由题意可知：，取中点，
所以，
因为为直角三角形，
同时为等腰直角三角形，，
所以当在运动中时，，，
所以，，故A错；
对于B:
由对称性得，即求，在面中，
，故B对；
对于C:因为以为直径的球的球心为正方体中心，半径为，而正方体中心到各棱距离均为，
所以该球与正方体12条棱均相切，所以有12个交点，故C对；
对于D:因为体积最大的小球为小球与正方体和球均相切时取到.研究截面，分别过和小球球心作的垂线，垂足分别为，，则，
因为球与小球相切，球半径为1，设小球的半径为，则，
所以，所以小球体积最大值为，故D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则________.
【答案】
【解析】因为
所以.
13. 数列的前项和为，且满足，，则________.
【答案】1
【解析】由题意可知①，②，③
将①②式相加可得，与③式相减可得，则1.
14. 已知函数，曲线在不同的三点处的切线斜率均为3，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为函数图象在不同的三点处的切线斜率均为3，
所以有三个不同的根，即有三个不同的根，
转化为函数图象和函数图象有三个不同的交点，
下面分析函数图象，，
令，解得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，且；当时，.
函数图象如图所示
结合图象可知，的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点在棱上，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的大小.
（1）证明：方法1：
因为，，所以，所以，即.
又因为面面，面交面于，因为，，所以，因为面，所以面，因为面，所以.
因为，，交于，所以面.
连接，交于，连接，因为，，所以，
又因为，所以，所以，
因为面，所以面，因为平面，所以面平面.
方法2：
取中点，连接，，因，所以，
又因为面面，面交面于，所以面，因为，，所以，又因为，，所以四边形为矩形，则.
以为原点建系如图，，，，，所以，，，
因为点在棱上且，所以，
则，
设，分别为平面和平面的法向量，
则，令，则，，所以，
，令，则，，所以，
所以，所以，所以平面平面.
方法3：
若取为原点，，方向为，轴正方向，则坐标为，，，，，平面和平面的法向量分别为，，所以，所以，所以平面平面.
（2）解：方法1：
取中点，连接，，因为，所以，又因为面面，面交面于，所以面，
因为面，所以.
因为，，，所以四边形为正方形，所以.
又因为交于，所以面，
因为面，
所以，所以即为平面与平面所成角，
因为，，所以，.
所以平面与平面所成角为.
方法2：
设为平面的法向量，所以，令，则，，所以，因为面，，
所以，所以平面与平面所成角为.
方法3：
平面的法向量，.
所以，
所以平面与平面所成角为.
方法4：
投影面积法：取中点，连接，，因为，所以，又因为面面，面交面于，所以面，设为平面与平面所成角，所以，所以.
16. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，角的平分线交于，.
（1）求；
（2）求的取值范围.
解：（1）在中，，
利用正弦定理得，，
所以，
即，
因为，故，即，
因为，所以，所以.
（2）由已知得，，
在中，由正弦定理得，，即，
同理得，.故，
而，
，
因为锐角中，，所以，
故，，，
所以的取值范围为.
17. 将个实数排成行列的数阵形式如下；
（1）当时，若每一行每一列均构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和；
（2）若，且每一行均为公差相同的等差数列，每一列均为公比为的等比数列.已知，，，设，求的值.
解：（1）由题意，且每一行都成等差数列则有：
，
，……，，
则有，
又因为每一列成等差数列，故有，
即.
（2）由题意每一行均为等差数列，设第二行的公差为，
则有，故，
从而可得第二行的通项公式，
所以，又因为每一列均为公比为的等比数列，且，
又因为，故，
即有，从而有，
故
所以
即.
18. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，，求的取值范围.
解：（1）由题意可知，
，则，
故曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，.则.
当时，，
此时.
当时，.
故在上恒成立.
再由可知为偶函数，于是在R上恒成立.故在R上单调递增.
（3）当时，符合题意.
当时，由可得.
令，则.
令，则.
令，则.
令，
当时，，故在上单调递减.
又，则此时.故在上单调递减.
因为，，则存在，使得，于是在上单调递增，在上单调递减.由于，，则当时，，此时.因此在上单调递增.
故当时，.
令，，则.
当时，，则在上单调递增，此时.故当时，.
故在上恒成立.
因此的取值范围为.
19. 已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”.
（1）若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）；
（2）若，写出所有的“理想集”的个数并列举；
（3）若，证明：集合必为“理想集”.
解：（1）不是“理想集”，是“理想集”.
由题意，令，则；
令，则；令，则；
令，则；所以不是“理想集”.
令，则，所以是“理想集”.
（2）共16个“理想集”.
若，有.
当时，若，则，由可知，故或；
若，则，由可知，则，故.
故含有三个元素的“理想集”，或，共3个.
当时，，，，，，，或，共7个.
当时，，，，，，共5个.
当时，，共1个.
综上所述，所有“理想集”的个数为16个分别为：，，，，，，，，，，，，，，，.
（3）若，记且
利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有，
则，，，…，.
记，于是，则.
因此，矛盾.
故集合必为“理想集”.