2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高三（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高三（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）复数i（1+i）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）若全集U＝{x∈Z||x|≤4}，A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则∁UA＝（ ）
A．{﹣4，2，3，4}B．{2，3，4}
C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}
3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4+a5＝6，则S7＝（ ）
A．21B．18C．14D．12
4．（5分）若a＝（）1.2，b＝ln2，c＝，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
5．（5分）已知单位向量，，且（+）⊥（2﹣3），则＜，＞＝（ ）
A．180°B．120°C．60°D．30°
6．（5分）已知直线x﹣y+3＝0是曲线y＝x3+mx+1的一条切线，则实数m＝（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
7．（5分）已知α，β为锐角，且tanα＝2，，则tan（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝3，且函数f（x+1）是奇函数，当x∈[﹣4，0]时，有f（x）＝1﹣x2，则f（2023）＝（ ）
A．﹣6B．2C．﹣5D．10
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知向量＝（1，3），＝（2，﹣4），则（ ）
A．•＝10
B．向量，的夹角为
C．|+|＝
D．向量＝（﹣6，2）与垂直
（多选）10．（5分）函数的部分图象如图所示，则（ ）
​
A．ω＝2
B．
C．点是函数f（x）图象的一个对称中心
D．直线是函数f（x）图象的对称轴
（多选）11．（5分）若函数f（x）＝3x﹣x3在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
（多选）12．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，则（ ）
A．x+y﹣4xy≥0B．x2+y2≥1
C．（1+）（1+）≥12D．+≥
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若命题“∀x∈[0，3]，x2﹣4x﹣a≤0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若向量＝（c+b，a），＝（a+b，c﹣b），且∥，则角C的度数为 ．
15．（5分）已知在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则满足不等式a1a2+a2a3+…+anan+1≤的正整数n的最大值为 ．
16．（5分）已知偶函数f（x）是在R上连续的可导函数，当x＞0时，，则函数F（x）＝x2f（x）﹣1的零点个数为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）＝sin2x+sin2x．
（1）求f（x）的最大值及相应x的取值；
（2）若把f（x）的图象向左平移个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的单调递增区间．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求角C；
（2）若c＝14，求△ABC的面积．
19．（12分）已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，a2是a1与a4的等比中项，S9＝45．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（12分）某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台x∈N*的收入函数为R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数P（x）及利润函数P（x）的最大值；
（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为Q（x），求Q（x）的最大值及此时x的值．
21．（12分）设函数f（x）＝x3﹣x2+bx+c，其中a＞0．曲线y＝f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y＝1．
（1）确定b，c的值；
（2）若过点（0，2）可作曲线y＝f（x）的三条不同切线，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣mx2+1（m∈R）．
（1）当m＝1时，证明：f（x）＜1；
（2）若关于x的不等式f（x）＜（m﹣2）x恒成立，求整数m的最小值．
2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据复数的乘法运算可得i（1+i）的结果，结合复数的几何意义求得答案．
【解答】解：因为i（1+i）＝﹣1+i，
所以复数i（1+i）在复平面内对应的点为（﹣1，1），位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2．【分析】根据已知条件，结合补集的定义，即可求解．
【解答】解：全集U＝{x∈Z||x|≤4}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
则∁UA＝{﹣4，2，3，4}．
故选：A．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
3．【分析】利用等差数列通项公式求出a4＝2，再由S7＝＝7a4，能求出结果．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4+a5＝6，
∴a3+a4+a5＝3a4＝6，解得a4＝2，
∴S7＝＝7a4＝14．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：a＝（）1.2＜，即a＜c，
b＝ln2＞ln＝，即b＞c，
综上所述，b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
5．【分析】由（+）⊥（2﹣3），可得，由数量积定义可得夹角．
【解答】解：由（+）⊥（2﹣3），
可得（）•（）＝0，
即，又，为单位向量，
则||＝||＝1，则有，即cs＜＞＝﹣1，
故＜＞＝180°．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积及其夹角，属基础题．
6．【分析】利用切线的斜率，求解切点坐标，代入切线方程求解即可．
【解答】解：曲线y＝x3+mx+1，可得y′＝3x2+m，
直线x﹣y+3＝0是曲线y＝x3+mx+1的一条切线，
设切点横坐标为a，则切点纵坐标为a+3，则，解得a＝﹣1，m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于中档题．
7．【分析】根据条件可求出sin（α+β）的值，进而求出tan（α+β）的值，根据tanα＝2可求出tan2α的值，然后根据两角差的正切公式即可由tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（a+β）]求出答案．
【解答】解：因为α，β为锐角，所以α+β∈（0，π），由得，
则，又，
故．
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，两角差的正切公式，考查了计算能力，属于中档题．
8．【分析】由f（x）﹣f（﹣x）＝3知，将x换为x﹣1，可得f（x﹣1）﹣f（﹣x+1）＝3，再结合奇函数的性质，可得f（x﹣1）+f（x+1）＝3，进而推出f（x）是周期为4的周期函数，从而有f（2023）＝3+f（﹣3），然后代入运算，即可得解．
【解答】解：由f（x）﹣f（﹣x）＝3知，将x换为x﹣1，可得f（x﹣1）﹣f（﹣x+1）＝3，
因为函数f（x+1）是奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），
所以f（x﹣1）+f（x+1）＝3，
将x换为x+2，有f（x+1）+f（x+3）＝3，
所以f（x﹣1）＝f（x+3），
所以函数f（x）是周期为4的周期函数，
所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝3+f（﹣3），
当x∈[﹣4，0]时，有f（x）＝1﹣x2，所以f（﹣3）＝1﹣（﹣3）2＝﹣8，
所以f（2023）＝3+f（﹣3）＝3﹣8＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查函数性质的应用，熟练掌握函数的奇偶性与周期性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．【分析】根据平面向量数量积的坐标运算、模长的坐标、夹角余弦值的坐标运算、共线向量的坐标关系逐项判断即可得答案．
【解答】解：对于A，＝1×2+3×（﹣4）＝﹣10，故A错误；
对于B，向量与的夹角余弦值cs＜＞＝＝，
又＜＞∈[0，π]，所以＜＞＝，故B正确；
选项C，||＝|（1，3）+|＝|（2，1），故C错误；
对于D，＝（1，3）•（﹣6，2）＝﹣6+6＝0，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查夹角余弦值、模长及垂直关系，属基础题．
10．【分析】直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：根据函数的图象，，故T＝π，
所以ω＝，
当x＝时，φ＝，（k∈Z），解得φ＝2kπ﹣，（k∈Z）；
由于|φ|＜，故φ＝﹣．
故A正确，B错误；
故f（x）＝2sin（2x﹣）；
当x＝时，f（）＝0，故点是函数f（x）图象的一个对称中心；故C正确；
当x＝时，f（）＝2sin（）＝2sin＝﹣2；故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11．【分析】求函数f（x）＝3x﹣x3导数，由于函数在区间（a2﹣12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a2﹣12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围．
【解答】解：由f（x）＝3x﹣x3，
得f'（x）＝3﹣3x2，
令f'（x）＞0，解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1
由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
故函数在x＝﹣1处取到极小值﹣2，
因为函数在（a2﹣12，a）的端点处的函数值取不到，
所以此极小值必是区间（a2﹣12，a）上的最小值．
∴a2﹣12＜﹣1＜a，解得﹣1＜a＜，
又当x＝2时，f（2）＝﹣2，故有a≤2，
综上知a∈（﹣1，2]．
故选：ABC．
【点评】本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值，是中档题．
12．【分析】结合题意，利用基本不等式，对选项中的问题判断正误即可．
【解答】解：对于A，xy≤＝，当且仅当，即x＝y＝时取“＝”，所以﹣4xy≥﹣1，x+y﹣4xy≥0，选项A正确，
对于B，因为x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝1﹣2xy≥1﹣2×＝，当且仅当x＝y＝时取“＝”，所以选项B错误；
对于C，（1+）（1+）＝1+++＝1++＝1+≥1+＝9，当且仅当x＝y＝时取“＝”，所以选项C错误；
对于D，+＝（+）•（x+y+1）•＝（1++4+）≥（5+2）＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，所以选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【分析】根据已知条件，分离常数，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：若命题“∀x∈[0，3]，x2﹣4x﹣a≤0”为真命题，
则∀x∈[0，3]，x2﹣4x﹣a＞0，即a≥x2﹣4x在[0，3]上恒成立，
所以a≥（x2﹣4x）max，x∈[0，3]，
根据二次函数的性质可知，当x＝0时，函数取得最大值0，
故a≥0．
故答案为：{a|a≥0}．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
14．【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，再结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：＝（c+b，a），＝（a+b，c﹣b），且∥，
则，即，
故＝，
∵C∈（0，π），
∴C＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量平行的性质，再结合余弦定理，属于基础题．
15．【分析】设{an}的公比为q，由a2＝2，，解得q和a1，由数列{anan+1}是等比数列，用公式法求和，解不等式求出n．
【解答】解：已知{an}为等比数列，设其公比为q，由得：，解得，a1＝4，
因为，所以数列{anan+1}也是等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为，
，从而有＝⇒n≤4，
故正整数n的最大值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题．
16．【分析】根据题意可得x＝0不是F（x）的零点，则方程F（x）＝0等价于，令g（x）＝xf（x），，分别分析g（x），h（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得x＝0不是F（x）的零点，
所以方程F（x）＝0等价于，
令g（x）＝xf（x），，
则，
所以当x＞0时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（x）为偶函数，所以g（x）为奇函数，
所以g（x）在R上单调递增，
所以g（x）与h（x）有两个交点，
故函数F（x）的零点个数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）根据已知条件，先对f（x）三角恒等变换，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）先求出g（x）的图象，再结合正弦函数的图象，即可求解．
【解答】解：（1）因为 ＝，
所以当，k∈Z，即 时，
故f（x）取得最大值；
（2）由题意可知，，
由，k∈Z，解得，k∈Z，
取 k＝0，1，
故g（x） 在[0，π]上的单调递增区间为，．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
18．【分析】（1）根据平方关系可求得，，结合两角和的余弦公式，即可得出答案；
（2）根据正弦定理可得a、b的值，结合面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，且，
又sinA＜sinB，则A＜B，即，
∴，
∴，
又0＜C＜π，则；
（2）由正弦定理得，
即，解得a＝6，b＝10，
∴△ABC的面积为．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．【分析】（1）直接利用等差数列的性质和等差数列的求和公式建立方程组，进一步求出首项和公差，最后求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步求出{bn}的通项公式，再利用错位相减法求出数列的和．
【解答】解：（1）因为Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，a2是a1，a4的等比中项，S9＝45，
设数列{an}的公差为d，则，
即，且d≠0，整理得d＝a1①，
又因为，整理得a1+4d＝5②，
由①②解得，a1＝1，d＝1，所以an＝1+（n﹣1）＝n；
（2）由（1）知，，
则，
可得，
两式相减得
＝＝（2﹣2n）×3n﹣2，
所以．
【点评】本题考查了数列的通项公式、错位相减法求和，考查了计算能力，属于中档题．
20．【分析】（1）根据题意得到P（x）的解析式，再利用二次函数的性质即可求得P（x）的最大值；
（2）根据题意得到Q（x）的解析式，再利用基本不等式即可得解．
【解答】解：（1）由题意知，x∈[1，100]，x∈N*
P（x）＝R（x）﹣C（x）＝3000x﹣20x2﹣（500x+4000）
＝﹣20x2+2500x﹣4000＝，
易得P（x）的对称轴为，
所以当x＝62或x＝63时，P（x）取得最大值为74120（元）．
所以利润函数P（x）＝﹣20x2+2500x﹣4000，最大值为74120（元）；
（2）依题意，得＝
＝1900（元）．
当且仅当时等号成立，即x＝15时，等号成立．
所以当x＝15台时，每台产品的利润Q（x）取得最大值1900元．
【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21．【分析】（1）先求f（x）的导数f'（x），再求f（0），由题意知f（0）＝1，f'（0）＝0，从而求出b，c的值；
（2）首先设出切点，求出切线的斜率，写出切线方程，代入点（0，2），得到关于x0的三次方程，且该方程有三个不同的实根，构造函数，运用导数求出极大值，令其值小于0，解出a的取值范围，注意a＞0．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝x3﹣x2+bx+c，所以导数f'（x）＝x2﹣ax+b，
又因为曲线y＝f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y＝1，
所以f（0）＝1，f'（0）＝0，即b＝0，c＝1．
（2）由（1）知f（x）＝，f'（x）＝x2﹣ax，
设切点为（x0，y0），
则y0＝f（x0）＝，
切线的斜率为k＝f'（x0）＝
所以切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），
因为切线经过点（0，2），所以2﹣y0＝﹣kx0，
即2﹣（）＝
化简得：4①，
因为过点（0，2）可作曲线y＝f（x）的三条不同切线，
所以①有三个不同的实根．
即函数g（x）＝4x3﹣3ax2+6有三个不同的零点．
导数g'（x）＝12x2﹣6ax＝0得x＝0，或x＝（a＞0）
可知只要极小值g（）＜0即，
所以a＞．
故实数a的取值范围是
【点评】本题主要考查导数的概念及应用：求极值，解题中必须注意过某点的切线与在某点处的切线的区别，本题就是一个很好的例子，同时考查了字母的运算能力，是一道中档题．
22．【分析】（1）由题意，将m＝1代入函数f（x）解析式中，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数f（x）的单调性和最值，进而即可求解；
（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣（m﹣2）x，将问题转化成关于x的不等式g（x）＜0恒成立，分别讨论当m≤0和m＞0这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：当m＝1时，f（x）＝2lnx﹣+1，函数定义域为（0，+∞），
可得f′（x）＝﹣x＝，
当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝时，函数f（x）取得极大值也是最大值，最大值f（）＝ln2，
则f（x）≤ln2，
又ln2＜lne＝1，
所以f（x）＜1；
（2）若关于x的不等式f（x）＜（m﹣2）x恒成立，
不妨设g（x）＝f（x）﹣（m﹣2）x＝2lnx﹣mx2+（2﹣m）x+1，函数定义域为（0，+∞），
可得g′（x）＝﹣mx+（2﹣m）＝，
当m≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
又g（1）＝﹣m+3＞0，
此时关于x的不等式g（x）＜0不成立；
当m＞0时，
因为g′（x）＝＝﹣，
当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）≤g（）＝﹣2lnm+2ln2﹣1，
不妨设，函数定义域为（0，+∞），
可得h′（m）＝﹣﹣＜0，
所以函数h（m）单调递减，
又h（1）＝1+2ln2＞0，h（2）＝0，h（3）＝2ln2﹣2ln3﹣＜0，
所以当m≥3时，h（m）＜0，
故整数m的最小值为3．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．