2024-2025学年辽宁省名校联盟高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省名校联盟高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.90×91×92×…×100=( )
A. A 10010B. A 10011C. A 10012D. A 10111
2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1,0)，且椭圆C上的点与两焦点构成的三角形的面积的最大值为2 2，则椭圆C的方程为( )
A. x29+y28=1B. x29+y26=1C. x28+y27=1D. x26+y25=1
3.若C183n+6=C184n−2，则n的值为( )
A. 2B. 8C. 2或8D. 2或4
4.已知直线l：kx−y−2k+2=0(k∈R)过定点Q，若P为圆C：(x−5)2+(y−6)2=4上任意一点，则|PQ|的最大值为( )
A. 3B. 5C. 7D. 9
5.已知向量a=(2,−1,2)，b=(−1,3,−3)，c=(13,6,λ)，若a，b，c共面，则λ=( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
6.已知双曲线C：x2m+y2n=1，则C的渐近线方程为y=±34x是C的离心率为54的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且D1F=λD1C1，若B1F/​/平面A1BE，则λ=( )
A. 14
B. 13
C. 12
D. 23
8.据典籍《周礼⋅春官》记载，“宫、商、角、微、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是( )
A. 50B. 64C. 66D. 78
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知在(x+2 x)a的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则( )
A. n=6B. 展开式的各项系数和为243
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16D. 展开式中不含常数项
10.已知空间中三点A(2,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,1)，则( )
A. 与向量AB方向相同的单位向量是(0,2 55,− 55)
B. AB在AC上的投影向量是(−1,1,0)
C. AB与BC夹角的余弦值是15
D. 坐标原点O(0,0,0)关于平面ABC的对称点是(43,43,83)
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，经过双曲线在点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2．
如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3,−1)，其左、右焦点分别为F1，F2.若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的方程为x2−y2=8
B. 过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ
C. 若PF2⊥PQ，则|PF1|⋅|PF2|=18
D. 若∠F1PF2=60°，则|PT|=4 305
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线y2=4x，点P是抛物线上一动点，点M(4,2)是平面上的一定点，则|PM|+|PF|的最小值为______．
13.若直线x+(1+m)y−2=0与直线mx+2y+4=0平行，则实数m的值______．
14.如图，在三棱锥V−ABC中，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB的中点，且VA=VD=VE=1，则直线VA与平面VBC所成角为______，四棱锥V−BCDE的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(1+2x)2+(1+2x)3+⋯+(1+2x)n=9+a1x+a2x2+⋯+anxn．
(1)求n的值；
(2)求(a1+a3+a5+…)−(a2+a4+a6+…)的值；
(3)求a2的值.(结果用数字表示)
16.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，
(1)用a，b，c表示BM和AC1；
(2)求cs的值．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆x2+y2−2x=0内切，且与直线x=−2相切，设动圆圆心M的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F(1,0)作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最小值．
18.(本小题17分)
在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知B1C⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，BB1= 5，E是线段B1D上的点．
(1)点C1到平面B1CD的距离；
(2)若E为B1D的中点，求异面直线DD1与AE所成角的余弦值；
(3)在线段B1D上是否存在点E，使得二面角C−AE−D的余弦值为 55？若存在，请确定E点位置；若不存在，试说明理由．
19.(本小题17分)
通过研究发现对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角可得到向量AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycs0)，这一过程叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．
(1)已知平面内点A(− 3,2 3)，点B( 3,−2 3)，把点B绕点A逆时针旋转π3得到点P，求点P的坐标；
(2)已知二次方程x2+y2−xy=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕原点O逆时针旋转π4所得的斜椭圆C．
(i)求斜椭圆C的离心率；
(ii)过点Q( 63, 63)作与两坐标轴都不平行的直线l1交斜椭圆C于点M，N，过原点O作直线l2与直线l1垂直，直线l2交斜椭圆C于点G，H，判断 2|MN|+1|OH|2是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7.C
8.A
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.5
13.1
14.π2 11π2
15.解：(1)由题意令x=0，则1×(n−1)=9，解得n=10；
(2)由(1)，已知等式化简为：(1+2x)2+...+(1+2x)10=9+a1x+...+a10x10，
令x=−1，则(−1)2+(−1)3+...+(−1)10=9−a1+a2−a3+...+a10，
即9−a1+a2−a3+...+a10=1−1+1−1+1−1+1−1+1=1，
所以a1−a2+a3−...−a10=8，则(a1+a3+a5+a7)−(a2+a4+...+a10)=a1−a2+a3−...−a10=8．
(3)由题意可知a2为展开式中含x2项的系数，
则a2=C22⋅22+C32⋅22+...+C102⋅22=4×(C33+C32+C42+...+C102)=4×C113=4×165=660．
16.解：(1)连接A1B，AC，AC1，如图：

∵AB=a，AD=b，AA1=c，
在△A1AB中，根据向量减法法则可得：BA1=AA1−AB=c−a，
∵底面ABCD是平行四边形，∴AC=AB+AD=a+b，
∵AC/​/A1C1且|AC|=|A1C1|，∴A1C1=AC=a+b，
又∵M为线段A1C1中点，∴A1M=12A1C1=12(a+b)，
在△A1MB中BM=BA1+A1M=c−a+12(a+b)=−12a+12b+c，
平行四边形AA1C1C中，AC1=AC+AA1=a+b+c．
(2)∵AC1=a+b+c，AB=a，
又cs=AB⋅AC1|AB|⋅|AC1|=a⋅(a+b+c)1× 6=(a)2+a⋅b+a⋅c 6=1+12+12 6=2 6= 63．
17.解：(1)设圆M的半径为r，圆x2+y2−2x=0的圆心F(1,0)，半径为1，
因为圆M与圆F内切，所以|MF|=r−1，
因为圆M与直线x=−2相切，
所以圆心M到直线x=−2的距离为r，
故M到直线x=−1的距离为r−1，
故圆心M到点F的距离与到直线x=−1的距离相等，
由抛物线的定义，曲线E是以F(1,0)为焦点，直线x=−1为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为y2=4x．
(2)设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立方程组x=my+1y2=4x，整理得y2−4my−4=0，
由韦达定理得y1+y2=4my1y2=−4，
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=my1+1+1+my2+1+1=m(y1+y2)+4=4m2+4，
因为AB⊥CD，直线CD的方程为x=−1my+1，
同理可得|CD|=4m2+4，
所以，S=12|AB|⋅|CD|=12(4m2+4)(4m2+4)
=8(2+m2+1m2)≥8(2+2 m2⋅1m2)=32
当且仅当m2=1m2，即m=±1时，取等号．
所以四边形ABCD面积的最小值是32．
18.解：(1)根据题意，以点A为坐标原点，AB，AD，CB1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，B1(1,1,2)，C1(1,2,2)，
则CB1=(0,0,2)，CD=(−1,1,0)，CC1=BB1=(0,1,2)
设平面B1CD的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CB1=2z=0n⋅CD=−x+y=0，
令x=1，则y=1，z=0，所以n=(1,1,0)，
所以点C1到平面B1CD的距离d=|CC1⋅n||n|=1 2= 22；
(2)根据题意，因为E为B1D的中点，所以E(12,32,1)，
所以AE=(12,32,1)，DD1=BB1=(0,1,2)，
所以cs〈AE,DD1〉=AE⋅DD1|AE||DD1|=32+2 14+94+1× 1+4= 7010，
所以异面直线DD1与AE所成角的余弦值为 7010；
(3)设DE=λDB1=λ(1,−1,2)=(λ,−λ,2λ)，其中0