辽宁省名校联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省名校联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知，，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则集合中的元素个数有（ ）
A 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】因为全集，，
所以，，
又因为，故.
因此，集合中的元素个数为.
故选：B.
2. 已知，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，且，故，C项错误；
因为，，所以，故B项错误；
，故D项正确.
故选：D.
3. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
故选：A
4. 已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，因为且，则内层函数在上单调递减，
且，可得，
因函数且在区间上单调递增，
则外层函数为减函数，所以，，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
5. 已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设的公差为，因为，，
可得，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选：D.
6. 过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径.
因为是圆的两条切线，所以，
由圆的知识可知四点共圆，且，
所以，
又，所以当最小，即时，取得最小值，
此时，
所以.
故选：D.

7. 某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥型边料，测得在此三棱锥中，侧面底面，且，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，设的中点为，连接，因为，
所以，所以，且，
又侧面底面且交线为，平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
又，所以，
因为，所以．
当球形玉珠为三棱锥的内切球时，球形玉珠的直径最大．
设三棱锥的表面积为，内切球的半径为，则，
又，
，故，
所以，
所以磨成的球形玉珠的直径的最大值为．
故选：C
8. 已知函数，是的导函数，则下列说法错误的是（ ）
A. “”是“为奇函数”的充要条件
B. “”是“为增函数”的充要条件
C. 若不等式的解集为且，则的极小值为
D. 若、是方程的两个不同的根，且，则或
【答案】B
【解析】对于A选项，若函数奇函数，
则，
且，
所以，，
即对任意的恒成立，则，可得，
所以，“”是“为奇函数”的充要条件，A对；
对于B选项，易得，
因为函数为增函数，则，可得，
所以，“”“”，
若取，则成立，即“”“”，
所以，“”是“为增函数”的充分不必要条件，B错；
对于C选项，因为不等式的解集为且，
则、为方程的两个根，设方程的第三个根为，
则，
若，则不等式的解集为，不合乎题意；
若，则不等式的解集为，合乎题意；
若，则不等式的解集为，不合乎题意；
若，则不等式的解集为，不合乎题意；
若，则不等式的解集为，不合乎题意.
所以，，
则，
，
列表如下：
所以，函数的极小值为，C对；
对于D选项，若、是方程的两个不同的根，
由韦达定理可得，，
所以，，可得，
由于，解得或，D对.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则（ ）
A. 的虚部为B. 是纯虚数
C. 在复平面内所对应的点位于第一象限D.
【答案】ABC
【解析】对于A选项，，所以，的虚部为，A对；
对于B选项，为纯虚数，B对；
对于C选项，，
所以，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限，C对；
对于D选项，，所以，，
，所以，，D错.
故选：ABC.
10. 已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A. 的长度为B. 的长度为
C. 的长度为D. 的长度为
【答案】AD
【解析】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C错误，D项正确；
由，得，又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：AD.
11. 已知数列的首项为，且，则（ ）
A. 存在使数列为常数列
B. 存在使数列为递增数列
C. 存在使数列为递减数列
D. 存在使得恒成立
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
又，则，设，其中，
所以，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，，
故当使数列为常数列，故A正确；
当时，由在上单调递增，
又，所以，故B正确；
当时，由在上单调递减，又，
所以，又在上单调递增且，
所以，所以存在使得恒成立，即D正确；
由上述分析可知，不存在使数列为递减数列，故C错误.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，则________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
所以，
故答案为：
13. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则________.
【答案】
【解析】由图可知：，
所以，可得：，
又，
所以，
可得：，
又，
可得：，
故答案为：
14. 已知函数，若函数存在个零点，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】当时，，则，
由f'x>0，可得；由f'x0，故对任意的，，
则在内单调递增，所以.
综上，当时，得证；
（2）因为，所以，由（1）可得．
接下来证明，其中，
设，，
设，
因为函数、在上均为减函数，
则在区间内单调递减，
因为，，
所以，，使得，
当时，；当时，.
所以区间内单调递增，在区间内单调递减，
又因为，m'x1>0，，
，使得，
当时，；当时，.
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．
因为，mπ2=1-lnπ2+1>0，
所以在区间内恒成立．
令，所以sin12n>ln12n+1=ln2n+12n，
所以，，，…，，
所以．
对，2n+12n-2n+22n+1=12n2n+1>0，所以，
所以2sin12+sin14+⋯+sin12n>2ln32+ln54+⋯+ln2n+12n
，
所以sin12+sin14+⋯+sin12n>12lnn+1得证．
设，则，
则在区间上单调递减，
所以．
令，，所以，，
所以，…，，
所以．
综上，．增
极大值
减
极小值
增