江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

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（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集概念求解．
【详解】
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可确定答案.
【详解】命题“，”为特称命题，
其否定为全称命题：，，
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接计算出所有函数值即可.
【详解】因为，
所以函数的值域为.
故选：D
4. 已知，则（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断所求式子范围，后平方求值即可.
【详解】易知，而
故
故选：D
5. 已知是一次函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设一次函数，代入已知式，由恒等式知识求解．
【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，.
故选：A．
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性及当时函数值的正负即可判断.
【详解】因为定义域为关于原点对称，且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项A，C；
又时，，排除选项D，故选项B正确.
故选：B.
7. “”是“，为真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式恒成立求出m的范围，然后可得.
【详解】由“，为真命题”得，解得，
因为必有m>0，反之不成立，
所以“”是“，为真命题”的必要不充分条件.
故选：B
8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果．
【详解】函数,
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C；
当时，，
当时，，函数图像对称轴为，函数不是单调函数，排除D.
故选：A．
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 集合有6个非空子集
B.
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 已知，则的范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由集合非空子集的个数即可判断A；当时，即可判断B；由必要不充分的定义即可判断C，由不等式的性质即可判断D.
【详解】集合非空子集的个数为，故A错误；
当时，，符合题意，故B正确；
由条件可得，反之，不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
因为，则，所以，故D正确；
故选：BCD
10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【答案】AB
【解析】
【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD.
【详解】不等式的解集为，
所以是的两个根，且，故A正确；
对于B，所以，
可得，
所以，
所以不等式的解集是，故B正确；
对于C，因为，，
可得，故C错误；
对于D，因为，
即解，解得，故D错误.
故选：AB.
11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ）
A. 若为的“完美区间”，则
B. 函数存在“完美区间”
C. 二次函数存在“2倍美好区间”
D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.
【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增，
所以其值域为，又因为为的完美区间，
所以，解得或，因为，所以，A错误；
对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，B正确；
对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递减，
，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确.
对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”，
若，由函数在内单调递减，则，解得；
若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由分式分母不为零,平方根被开方数不小于零,即可求得
【详解】要使函数有意义须,
所以函数的定义域为.
故答案为:
【点睛】本题考查函数的定义域,对于函数解析式成立的条件要熟练掌握,属于基础题.
13. ，若，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】令，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求解.
【详解】令，则，为奇函数，
由，解得，所以.
所以.
故答案为：4.
14. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解关于的一元二次不等式即可.
【详解】由，故可得，则，
当且仅当，且，时，也即时取得等号，故的最小值为；
根据题意可得，即，，解得.
故实数的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 计算下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）应用指数的运算规则，包括负指数、分数指数以及根号与指数的转换，将每个部分化简到最基础的形式，从而可得出结果；
（2）利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，，，
，，将上述结果代入原式，可得：
；
【小问2详解】
由对数的运算性质可得，
因为，则，
因为，则 ；
且，
将上述结果代入原式，可得：
.
胡最终计算得到：.
16. 设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解．
（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解．
小问1详解】
由题意可知：集合是集合的真子集，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为．
【小问2详解】
若命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，，
则，无解，
所以“，则”是真命题，实数的取值范围．
那“，则”是假命题时，
17. （1）已知，求的最小值；
（2）已知，，且.求ab的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）函数变化为，再利用基本不等式即可.
（2）把化为，利用基本不等式即可；
【详解】（1）因为，所以，
则
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为.
（2）因为，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故ab的最大值为.
18. 某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：
①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；
②影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出.
（1）设定价为（）元，净收入为元，求关于的表达式；
（2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？
【答案】（1）；（2）每张票价定为22元时净收入最多，最大值为8330元.
【解析】
【分析】（1）根据的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．
【详解】（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入
必须高于成本支出，
，票价最低为6元，
票价不超过10元时：
，的整数），
票价高于10元时：
，
，
解得：，
，的整数）；
所以
（2）对于，的整数），
时：最大为4250元，
对于，的整数）；
当时，最大，
票价定为22元时：净收入最多为8330元．
点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用，根据的范围得到函数的解析式是解题的关键．
19. 已知函数是定义域上的奇函数，．
（1）求的解析式；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）若函数，若对，，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在上单调递增，证明见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义结合列式运算可得解；
（2）由函数单调性定义可证明；
（3）由题意转化为，令，可令，利用二次函数讨论求最值可得解.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，可得，
所以，所以，
又，所以，
所以．
【小问2详解】
函数在上单调递增．
设，则，
因为，，，，
可得，
所以，
从而函数在上单调递增．
【小问3详解】
由题得，，
对，，都有，只需要，
令，则在单调递增，所以，则，
对称轴，当时，由单调性可得，
，得，故；
当时，，
得，故；
当时，，
得，故；
当时，，
得，故；
综上：实数的取值范围是．