江苏省扬州市新华中学2024-2025学年高一上学期第一阶段自主练习（10月）数学试题（解析版）

这是一份江苏省扬州市新华中学2024-2025学年高一上学期第一阶段自主练习（10月）数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合且，则的非空真子集的个数为（ ）
A. 14B. 15C. 30D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的定义，结合正整数集与真子集的定义求解即可
解：因为且，
则该集合的非空真子集个数为个，
故选：A
2. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据韦恩图确定阴影部分元素与集合的关系，结合交、并运算求阴影部分的集合.
由题设，阴影部分元素属于集合或，但不属于，
又，，
所以阴影部分的集合为.
故选：D
3. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求，再求交集.
，，
所以.
故选：B
4. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）
A. -∞,1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的真假，只需即可求解.
命题“”是真命题，
则，
又因为，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
5. 设命题，则为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对特称命题的否定为全称命题即可求解.
由于:存一个自然数使得，
其否定符号为.
故选：A.
6. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根，
所以，解得，
所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是.
故选：C.
7. 若关于不等式在内有解，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围．
不等式在内有解等价于时，.
当时，，所以.
故选：A.
8. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案
由题意得，，
则，
当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．
9. 若，则下列不等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用不等式的性质判断，对于BD，举例判断，对于C，由函数的单调性判断
解：对于A，因为，，所以，所以A正确，
对于B，由A可知，若，则，所以B错误，
对于C，由A可知，因为在上为增函数，所以，所以C正确，
对于D，由A可知，若，则，所以D错误，
故选：AC
10. 命题为真命题的一个充分条件是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用不等式恒成立求出命题为真命题充要条件，根据子集关系可得充分条件.
对，，即，等价于，
因为，所以，所以.
因为，故为充要条件，为充分不必要条件.
故选：BD
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
11. 已知为正实数，且，则（）
A. 的最大值为8B. 的最小值为8
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可
解：因为，当且仅当时取等号，
结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误；
，
当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确；
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12. 已知集合，且，则的值为______．
【答案】0或
【解析】
【分析】根据两个集合的元素相同列方程，即可求解.
因为，所以，得或，
当时，，当时，，都成立，
所以的值为0或.
故答案为：0或
13. “不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.
当时，不等式对一切实数都成立，
所以成立；
当时，由题意得解得：；
综上所述：.
14. 对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合，则B的“小和数”为_________，B的“大和数”为_________.
【答案】 ①. 20 ②. 1280
【解析】
【分析】根据“小和数”的定义直接求解第一个空，集合中一共有7个元素，则一共有个子集，对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，再结合“大和数”的定义求解第二个空．
由题意可知，的“小和数”为，
集合中一共有7个元素，则一共有个子集，
对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，且无重复，
则与的“小和数”之和为的“小和数”，
这样的子集对共有个，
其中时，，考虑非空子集，则子集对有对，
则的“大和数”为．
故答案为：20；1280．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设全集，集合，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合，，再求出与集合进行交集运算即可求解；
（2）结合（1）求出再与进行并集运算即可求解.
【小问1】
由可得，解得：，
所以，
由，可得，解得：或，
所以或x≥1，所以，
所以.
【小问2】
由（1）知，所以或，
所以或.
16. 设全集，集合，集合.
（1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由充分条件的定义可得，进而建立不等式组，解之即可求解；
（2）由题意可得，易知当时符合题意；当时，根据集合的包含关系建立不等式组，解之即可求解.
【小问1】
∵是的充分条件，∴，
又∵，，
∴，∴，
∴，
∴实数的取值范围为；
【小问2】
∵命题“，则”是真命题，∴.
①当时，∴，∴，∴，符合题意；
②当时，∵，，且B是A的子集，
∴，∴，a无解；
综上所述：实数a的取值范围.
17. 命题成立；命题成立.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当为真命题时，，求解即可；
（2）当命题为假命题时，，求解即可；
（3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解
小问1】
若命题为真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
【小问2】
若命题为假命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
【小问3】
由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则
或，
解得，
故命题与命题中至少有一个为真命题，
则或
所以实数的取值范围是.
18. 某市近郊有一块400m×400m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为3000的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为．
（1）求S关于x的关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时S取得最大值，并求最大值．
【答案】（1），
（2）m，最大值为2430
【解析】
【分析】（1）设矩形场地的另一条边的长为y，可得，，即可得出面积关系式．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【小问1】
解：（1）设矩形场地的另一条边的长为y，则，即，且，
，
∵，
∴，
∴，；
【小问2】
，
当且仅当，即，满足，等号成立，
故当m时，S取得最大值，其最大值2430．
19. 已知集合.
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）若，试判断是否属于集合，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3），理由见解析.
【解析】
【分析】（1）设出且，则可求出，从而可证明结论；
（2）设出且，根据可求出；然后根据（1）的结论可得出，从而得到，从而可求出的值；
（3）设出且，从而得到，只需验证，即可得出结论.
【小问1】
若，则且.
所以.
因为，所以原式，
因为，所以为偶数，即若，则是偶数.
【小问2】
因为，且，则，所以
设，.
由（1）可知，即；
所以或.
当时，代入可得，
此时，满足，所以成立；
当时，代入解得，不满足，所以不成立；
综上可知.
【小问3】
因为，所以可设且，
则，
因为，
，所以成立.