2024-2025学年江苏省扬州市高一上册期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省扬州市高一上册期中数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，2，，则
A．，2，B．，1，2，C．，2，3，D．，1，2，3，
【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
解：集合，1，，，2，，
则，1，2，．
故选：．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2．命题“，”的否定为
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，分析可得答案．
解：根据题意，命题“，”是全称命题，
其否定为：，．
故选：．
【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3．设，命题，命题，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，对两个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．
解：不等式，即，解得；不等式，即，解得．
因为由不能推出，由可以推出成立，
所以是的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的定义与判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
4．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】由函数的解析式，求出函数的单调递增区间，由题意可得的范围．
解：二次函数开口向上，对称轴方程为，
所以函数的单调递增区间为，，
而函数在区间上单调递增，所以，
解得，
即的范围为，．
故选：．
【点评】本题考查函数的单调递增区间的求法，属于基础题．
5．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为
A．B．0C．1D．2
【分析】根据题意，先分析函数的周期性，结合函数的奇偶性可得（2），（1），结合函数的解析式计算可得答案．
解：根据题意，函数满足，即，
函数是周期为4的周期函数，
又由为奇函数，则（2），（1），
当时，，则（2），（1），
故（2）（1）；
故选：．
【点评】本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．
6．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是
A．B．C．D．
【分析】根据幂函数的图像和性质判断即可．
解：根据幂函数的图像以及性质得：
①是，②是，③是，④是，
故选：．
【点评】本题考查了幂函数的图像和性质，考查数形结合思想，是基础题．
7．定义在上的奇函数满足，且在，上是减函数，则
A．（5）（4）（3）B．（3）（4）（5）
C．（3）（5）（4）D．（4）（5）（3）
【分析】根据题意，由的奇偶性和单调性可得在，上为减函数，再分析的周期性，可得（5）（1），（4），（3），综合可得答案．
解：根据题意，为定义在上的奇函数且在，上是减函数，
则在，上也是减函数，
故在，上为减函数，
又由函数满足，则有，故是周期为4的周期函数，
则有（5）（1），（4），（3），
则有（5）（4）（3）．
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．
8．已知定义在上的函数满足，（1），且当时，，则不等式的解集为
A．或B．或C．D．
【分析】利用函数单调性的定义可求解函数在上是增函数，利用函数的单调性解抽象不等式可求解不等式的解集．
解：在上任取，则，所以，
又，
所以函数在上是增函数，
由（1），得（2）（1）（1），（3）（1）（2）．
由，得（3），
因为函数在上是增函数，所以，解得或，
故原不等式的解集为或．
故选：．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知正数，满足，则下列选项正确的是
A．的最小值是4B．最小值为
C．的最小值是2D．的最大值是
【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论，逐个判断各个选项的正误即可．
解：对于，，，且，
，当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为2，故错误，
对于，，，且，
，
，当且仅当，即时，等号成立，
显然不成立，所以的最小值取不到，故错误，
对于，由得，，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是2，故正确，
对于，，当且仅当且，即，时，等号成立，
即的最大值是，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
10．图①是某大型游乐场的游客人数（万人）与收支差额（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是
A．图①中点的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
解：图①中点的实际意义表示门票收入为0时，收支差额为1万元，即该游乐场的投入的成本费用为1万元，选项正确；
图①中点的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，收支差额为0，即该游乐场的收支恰好平衡，选项正确；
图②中虚线的斜率更大，即与原来相比，游客人数相同时，收入更大，则门票的票价更高，选项错误；
图③中虚线与轴的交点纵坐标比原来的大，即减少了投入的成本费用，选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
11．下列命题中正确的是
A．方程在在区间上有且只有1个实根
B．若函数，则
C．如果函数在，上单调递增，那么它在，上单调递减
D．若函数的图象关于点对称，则函数为奇函数
【分析】根据函数的相关知识，对各选项逐个判断即可．
解：对，作出函数和的图象，由图可知，它们在上有且只有1个交点，所以正确；
对，作出函数的图象，设，，，，由图可知，
点，总在点，的上方，所以，所以正确；
对，因为函数为奇函数，所以函数在，上单调递增，在，上也单调递增，所以错误；
对，根据函数的图象关于点对称，所以，于是，
所以函数为奇函数．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的性质应用，以及函数零点的求法，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的定义域是 ，且 ．
【分析】由题意列关于的不等式组，求解得答案．
解：由，解得，且．
函数的定义域是，且．
故，且．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
13．已知函数，．若恒成立，则 ．
【分析】根据给定条件，代入计算即可．
解：函数，，
由，得，
所以，解得．
故．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了方程思想，属基础题．
14．已知函数是减函数，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，函数是减函数，
则有，解可得，即的取值范围为，．
故，．
【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及函数的解析式，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合，，．
（1）求，；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）利用并集定义能求出，，由此能求出；
（2）由，得，由此能求出的取值范围．
解：（1）集合，，
，
或，
或；
（2）集合，，，
，解得．
的取值范围是．
【点评】本题考查并集、补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．函数是定义在上的奇函数，且（1）．
（1）求，的值；
（2）判断并用定义证明在，的单调性．
【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性分析可得，则可得，解可得、的值；
（2）由（1）的结论，，利用作差法分析可得答案．
解：（1）根据题意，是定义在上的奇函数，且（1），
则（1），
则有，解可得，；
（2）由（1）的结论，，
设，
，
又由，则，，
则，
则函数在，上单调递减．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出、的值，属于基础题．
17．已知函数．
（1）讨论不等式的解；
（2）当时，求函数在，上的最小值．
【分析】（1）分，，三种情况讨论，求不等式的解集；
（2）分函数的对称轴在，之间，及在区间的右边两种情况讨论，可得函数的最小值．
解：（1）当时，不等式为，
解得，此时不等式的解集为；
当时，不等式为，
解得或，此时不等式的解集为或；
当时，，
解得，此时不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
（2）时，函数开口向上，对称轴方程为，
当，即时，则函数在，单调递减，
则（1），
当时，函数在，先减后增，所以．
【点评】本题考查分类讨论求不等式的解集，属于基础题．
18．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图①；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．
（1）分别求出、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解．
解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，
由题设，，
由图知（2），即，解得，
又（4），即，解得．
从而，．
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，
则，
令，则，
当时，，此时．
所以产品投入6万元，产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元．
【点评】本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19．设函数为定义在上的奇函数，且当，时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若对所有，，，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间，上的值域，，求所有满足条件的区间，的并集．
【分析】（1）根据函数为奇函数，利用 求得当时的表达式，由此求得的解析式．
（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围；
（3）根据条件可得，，是方程的两个根，或是方程的两个根，然后求出集合即可．
解：（1）令，则，
函数为奇函数，则，
所以函数的解析式为．
（2）根据（1）中函数解析式，可知在，时为增函数，
所以在，上的最小值为，
要使对所有，，，恒成立，
即 对所有，恒成立，
也即对所有，恒成立，
设，则，
即，，
实数的取值范围是，．
（3）函数在区间，上的值域为，
则，所以，同号，
当，时，，，
当，时，，，
即函数在区间，上单调递减，即，
即，是方程的两个根，或是方程的两个根，
所以，①或，②
由①，解得，由②，解得，
所以．
【点评】本题考查了利用奇偶性求解析式，函数的值域以及不等式的恒成立问题，属于难题．