江苏省扬州市高邮市第一中学2024-2025学年高一上学期十月质量检测数学试题

这是一份江苏省扬州市高邮市第一中学2024-2025学年高一上学期十月质量检测数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，．如图，则阴影部分所表示的集合的元素共有
A．3个B．2个
C．1个D．无穷多个
2．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最大值为
A．B．0C．1D．2
3．已知，为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．若，则下列不等式中，正确的不等式有
A． B． C． D．
5．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是
A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8
6．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. B.
C. D.
7．若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为（ ）．
A．0 B. 1 C. d. 2
8. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，C是AB上的一点(不同于点A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD，垂足为E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A. ≤(a>0，b>0)B. <(a>0，b>0，a≠b)
C. ≤(a>0，b>0)D. <<(a>0，b>0，a≠b)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（ ）
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集M一定是数域
D．数域中有无限多个元素
10下列说法正确的是
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合，共有4个子集
C．集合，，
D．集合，，
11已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为4B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，，若，则实数的值为 .
13．.若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________.
14．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（14分）已知，或．
(1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围．
16．已知集合，集合，命题，命题．
（1）当实数为何值时，是的充要条件；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．某市近郊有一块正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为．
（1）求关于的关系式，并写出的取值范围；
（2）当为何值时取得最大值，并求最大值．
18．（17分）（1）已知为正数，且满足.证明：.
（2）若，，其中，试比较的大小.
19．设是正整数，集合至少有两个元素，且．如果对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称具有性质．
（1）试判断集合，2，3，和，4，7，是否具有性质（2）？并说明理由；
（2）若集合，，，，2，，，求证：不可能具有性质（3）；
（3）若集合，2，，，且同时具有性质（4）和（7），求集合中元素个数的最大值．
参考答案
选择题1-8 BDAADCCB
多选题9-11 AD BD
填空题12 13 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2) 14 12
15．【解】（1）①当时，，∴，∴．②当时，要使，必须满足，解得．综上所述，的取值范围是．
（2）∵，，或，∴，解得，故所求的取值范围为．
16．【解】解：（1），即，有，解得，故，
因为是的充要条件，所以，
故的解集也为，所以，即；
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
①当，此时即或0，符合题意，
②当时，当或时，，即，此时，解得，
由当时，，不合题意，所以
当时，，即，，此时，解得，
综上所述的取值范围为，．
17．【解】（1）设矩形场地的另一条边的长为，则，即，且，
，
，
，
，．
（2），
当且仅当，即，满足，等号成立，
故当时，取得最大值，其最大值为．
18．解：（1），，，
，当且仅当时，等号成产，，即.
（2）因为，
，
又，则，
所以，则，
所以，即.
19．【解】解：（1）因为，2，3，，
又，，，，但，
所以集合不具有性质（2），
因为，4，7，，
又，，，，
但，，，，，，
所以集合具有性质（2），
（2）证明：将集合，2，，中的元素分为如下11个集合，
，，，，，，，，，．，，，，，，，，，，
所以从集合，2，，中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，
所以不可能具有性质（3）；
（3）先说明连续11项中集合中最多选取5项，
以1，2，，11为例．
构造抽屉，，，，，，，，，，．
①5，6，7同时选，因为具有性质（4）和（7），
所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；
则只剩4，8．故1，2，，11中属于集合的元素个数不超过5个．
②5，6，7选2个，
若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又，只能选一个元素，
3，8可以选，故1，2，，11中属于集合的元素个数不超过5个．
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，
故1，2，，11中属于集合的元素个数不超过5个．
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又，只能选一个元素，
4，9可以选，故1，2，，11中属于集合的元素个数不超过5个．
③5，6，7中只选1个，
又四个集合，，，，，，，每个集合至多选1个元素，
故1，2，，11中属于集合的元素个数不超过5个．
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取1，4，6，7，9．
因为，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个．
给出如下选取方法：从1，2，，11中选取1，4，6，7，9；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次．
此时集合的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；；
2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素．
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有920个．