特训13 数列 解答题（六大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训13 数列 解答题（六大题型）
对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
(1)形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．
(2)递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到eq \f(an＋1,γn＋1)＝eq \f(α,γ)·eq \f(an,γn)＋eq \f(β,γ)，转化为bn＋1＝kbn＋eq \f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(β,γ1－k)))求解．
目录：
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
02 ：等差、等比数列的综合应用
03 ：由递推关系求递推公式
04 ：数列的综合应用
05 ：利用数列证明不等式
06 ：求参数范围
01 ：定义法求数列通项公式、前n项和
1．已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式及；
(2)若数列满足，求数列的前10项的和．
2．已知数列中，，.
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列的前项和
3．已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．
5．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
02 ：等差、等比数列的综合应用
6．在数列中，，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
7．已知数列的前n项和为，数列满足，．
(1)证明是等差数列；
(2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．
8．已知数列满足，且成等差数列.
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前项和.
9．已知数列的前n项和为，，,等差数列中，且，又、、成等比数列.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
10．已知数列和满足.若为等比数列，且
（1）求与；
（2）设．记数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有．
11．已知，数列的前n项和为，且；数列的前n项和为，且满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，问：数列中是否存在不同两项，（，i，），使仍是数列中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.
03 ：由递推关系求递推公式
12．已知数列满足，是以为首项，为公差的等差数列．
(1)求的通项公式
(2)若数列的前项和，证明：．
13．已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)令，，求证：．
14．已知数列满足
(1)求数列的通项公式
(2)设为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围
15．已知数列的前n项和为，在数列中，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求的最值．
16．已知数列满足，．
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数．
17．已知数列中，，，，数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，设，求证：.
18．在数列中，，且.函数满足：的值均为正整数，其中，数列.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若互不相等，且，求的取值范围；
(3)若，求数列的前2021项的和.
19．在递增的等差数列中，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式；
(3)令，求数列的前项和.
04 ：数列的综合应用
20．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
21．已知数列{an}中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列{an}的前项和；
（Ⅲ）记，，求证：．
22．已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量=(1,bn)，=(an－1,Sn)，//．
（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；
（2）若，=0.
①证明：数列{an}为等差数列；
②设数列{cn}满足，问是否存在正整数l，m(l05 ：利用数列证明不等式
23．在数列中，，在数列中，.
(1)求证数列成等差数列并求；
(2)求证：.
24．已知数列满足，且.
(1)若是等比数列，且，求的值，并写出数列的通项公式；
(2)若是等差数列，公差，且，求证：.
25．已知数列的前项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
26．已知数列的前项和为.若对任意，都有
(1)求，的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)记，数列的前项和为，求证： .
27．已知正数数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)式，证明：.
28．已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
29．已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：
06 ：求参数范围
30．已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，对任意正整数n，恒成立，试求m的取值范围．
31．记数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.
32．已知数列满足，.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
33．已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
一、解答题
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.
3．（2024·山东济南·模拟预测）已知复数数列an的通项公式为（是虚数单位），为an的前项和．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的通项公式．
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
5．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
6．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式
(2)数列满足，且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列是“数列”，求d的值；
(2)已知数列为等比数列，公比为q．
①若数列为“数列”，，求q的值；
②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．
8．（2024·海南·二模）设数列，如果A中各项按一定顺序进行一个排列，就得到一个有序数组．若有序数组满足恒成立，则称为n阶减距数组；若有序数组满足恒成立，则称为n阶非减距数组．
(1)已知数列，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；
(2)设是数列的一个有序数组，若为n阶非减距数组，且为阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组；
(3)已知等比数列的公比为q，证明：当时，为n阶非减距数组．