特训08 利用导数解决恒成立问题（三大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训08 利用导数解决恒成立问题（三大题型）
洛必达法则
法则1若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么=。
法则2若函数和满足下列条件：(1)及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么=。
法则3若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么=。
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理，，，，，，型。
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
，如满足条件，可继续使用洛必达法则。
目录：
01 ：分离参数法求参数范围
02： 分类讨论法求参数范围
03： 双变量的恒(能)成立问题
01 ：分离参数法求参数范围
例1已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥eq \f(1,2)x3＋1，求a的取值范围.
感悟提升 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
训练1 已知函数f(x)＝eq \f(1＋ln x,x).
(1)若函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a＋\f(1,2)))上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)－eq \f(k,x＋1)≥0恒成立，求实数k的取值范围.
02：分类讨论法求参数范围
例2 已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
感悟提升 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
训练2 已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R，x∈[1，＋∞)，且f(x)≤eq \f(ln x,x＋1)恒成立，求a的取值范围.
03：双变量的恒(能)成立问题
例3 设f(x)＝eq \f(a,x)＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.
感悟提升 含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
训练3 已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2＋ax.
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝eq \f(x,ex)，对∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∃x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围.
方法技巧 洛必达法则
在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“eq \f(0,0)”型或“eq \f(∞,∞)”型的代数式，就设法求其最值.“eq \f(0,0)”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.
例 已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R).
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值；
(2)当x＞0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.
一、解答题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，为函数的两个零点，求证：．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
4．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)已知是函数的两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）是的导函数．证明：．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
6．（2023·福建龙岩·二模）已知函数，．
(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
(2)若，且，证明：．
7．（2023·新疆·三模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．
8．（2023·上海松江·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数的极值点；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.
9．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)设函数，若恒成立，求的最小值；
(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.
11．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.
(1)若函数为增函数，求的取值范围；
(2)已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.
12．（2023·天津河西·模拟预测）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)对，有恒成立，求的最大整数解；
(3)令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．
13．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，有，求证：对，有；
(3)若，且，求实数a的取值范围．
14．（2023·浙江嘉兴·二模）已知.
(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；
(2)若，设，证明：
①存在，使得成立；
②.
15．（2023·湖北咸宁·模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在三个零点、、（其中），证明：
（i）若，函数，使得；
（ii）若，则.
16．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：

①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线的曲率半径的最小值；
(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．