特训07 利用导数解决双变量问题（三大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训07 利用导数解决双变量问题（三大题型）
如果两个变量之间不存在具体直观的等量关系，但可以通过适当的代数变形将两个变量化为某种结构的整体，常见如x₂-x,，这种通过换元实现双变量合二为一目的，把双变量转化为单变量的手段分别称为“差值代换”和“比值代换”.
注：如果所给条件能转化为关于变量x₁,x₂的齐次式，常常建立关于的函数 .
导数中解决双变量问题的步骤：
(1)先根据已知条件确定出两个变量x₁,x₂ 满足的条件；
(2)将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：
① 将所有涉及x₁,x₂的式子转化为关于 的式子，令,将问题转化为关于自变量t 的函数问题；
② 令t=x₂-x₁,将问题转化为关于自变量t的函数问题.
注：需要关注新元的范围即为新函数的定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
目录：
01 ：转化为同源函数解决
02 ：整体代换
03 ： 构造具体函数解决双变量问题
01 ：转化为同源函数解决
例1 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，求a的取值范围.
感悟提升 此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
训练1 已知函数f(x)＝aln x＋eq \f(1,2)x2，在其图象上任取两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＞x2)，总能使得eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞2，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(1，2) D.[1，2]
02 ：整体代换
例2 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x，g(x)＝2aln x－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且方程f(x)＝g(x)在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＞0.
感悟提升 (1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题，一般是根据x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，确定x1，x2的关系，再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于eq \f(x2,x1)的函数，把eq \f(x2,x1)看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.
训练2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1＋ln x2＞2.
03 ： 构造具体函数解决双变量问题
例3 已知函数f(x)＝x(1－ln x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2