高考仿真重难点训练01 一元二次函数、方程和不等式-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
高考仿真重难点训练01 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．已知为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.
【解析】对于A，若，当时，不满足，即A错误；
对于B，若，则，所以B错误；
对于C，若，可知，不等式两边同时除以，即，可得，即C正确；
对于D，若，不妨取，则，可得D错误；
故选：C
2．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.
【解析】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.
故选：B
3．一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【解析】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：D.
4．若，，则的元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】分别确定集合，再求交集.
【解析】根据题意，可得集合或 ，
，
则，所以的元素个数为2个.
故选：C
5．若，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【解析】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，
故选：D．
6．已知，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得.
【解析】因为，所以，等价于，
解得.
故选：A
7．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A．B．C．D．的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【解析】由题意得，，
因为，故，，
即，
故选：B
8．已知正实数a，b，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可.
【解析】取，满足，但，
故“”推不出“”，
因为，当且仅当“”时取等，
当时，，
所以，即，因为，
所以，所以能推出.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
9．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．
【解析】命题p：关于x的不等式的解集为R，
则，解得
又，，
故选：CD．
10．已知正实数满足，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为3
C．的最小值为
D．的最小值为8
【答案】AC
【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由的范围结合单调性判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D.
【解析】正实数满足，
对于A，，则，即，
解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，A正确；
对于B，，则，解得，即，
当且仅当时取等号，所以的最小值为9，B错误；
对于C，由选项B知，，，
所以当时，取得最小值，C正确；
对于D，由，得，而，则，
，当且仅当时取等号，
由，解得，所以当时，取得最小值，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
11．已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，进而得到只需即可，再依次判断四个选项即可.
【解析】要满足，只需满足，
其中正实数，，，且，，，为正数，
，
当且仅当，即时，等号成立，
观察各选项，故只需，故只需即可，
A选项，，，时，，A错误；
B选项，，，时，，B正确；
C选项，，，时，，C正确；
D选项，，，时，，D错误.
故选：BC.
三、填空题
12．已知集合，若且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合，结合集合交集､并集的定义，即可求解.
【解析】由得：，
所以，
因为且，
所以.
故答案为：.
13．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，由得 ，因此
14．某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 .
【答案】 （其中，），或， /
【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；
（2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.
【解析】连接，由，，，，得，
在中，，由，得，
显然在上单调递减，
所以满足的关系式为（，）或，；

方案1：设游泳池的面积为，
由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号，
所以；
方案2：设游泳池的面积为，取的中点，
连接，，设，，在中，，
则，解得，当且仅当时取等号，
，
而，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.
故答案为：（，），或，；
【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键.
四、解答题
15．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解一元二次不等式，求出集合，再将代入求出集合，求即可；
（2）由“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，即可求得的取值范围
【解析】（1）解一元二次不等式得：
当时，集合，
所以，
（2）由已知“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，
，，
而，且集合是集合的子集，
所以，解得；
综上.
16．已知关于不等式的解集为或．
(1)求值；
(2)当，且满足时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【解析】（1）解：因为不等式的解集为或，
可得和是方程的两个实数根，且，
则，解得.
（2）解：由（1）知，可得，
因为，所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
17．已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.
【解析】（1）依题意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依题意，对恒成立，
令，
则对，恒成立，于是，
解得，
所以实数的取值范围是．
18．某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤10）万元满足 .已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
(1)将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数；
(2)该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大?
【答案】(1)；
(2)投入万元时，利润最大.
【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；
（2）对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值.
【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为，
，即；
（2）由，
当且仅当，即时取等号.
故该服装厂年的促销费用投入万元时，利润最大.
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由
【答案】(1)“上位点”，“下位点”（答案不唯一）
(2)“下位点”，证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.
（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.
（3）依题意可得，从而得到，即可得解.
【解析】（1）因为，
根据题设中的定义可得点的一个 “上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和，
即“上位点”，“下位点”（答案不唯一）；
（2）点是点的“下位点”.
证明：点是点的“上位点”，
，
又均大于，
，
，
，即，
所以点是点的“下位点”.
（3）若点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”；
即；
所以对任意的都有，
，
所以当时，对任意的存在，
使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”.
【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.