特训09 多面体与求内切外接问题（八大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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特训09 多面体与求内切外接问题（八大题型）
一、 外接球问题
若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面 体的外接球问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题，其中球心位置的确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。
如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论：
结论 1： 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。
结论 2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。
结论 3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。
结论 4： 正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。
结论 5 ：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
二、 内切球问题
若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。 并非所有多面体都有内切球，下面介绍几种常见多面体内切球问题：
1. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。
2. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。
目录：
01 ：三棱柱
02 ：四棱锥
03 ：棱台
04 ：侧棱垂直于底面
05 ：正方体、长方体
06 ：其他多面体
07 ：三棱锥
08 ：折叠问题
01 ：三棱柱
1．在一个封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则球的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的内切圆的半径为，由等面积法得，解得．由于，所以球的最大半径为，由此能求出结果．
【解析】由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
所以球在底面内的投影的圆面最大不能超出的内切圆.
设圆与内切，设圆的半径为.
由，，，则
由等面积法得，得.
由于三棱柱高，若球的半径，此时能保证球在三棱柱内部，
所以直三棱柱的内切球半径的最大值为.
所以球的体积的最大值为：.
故选：B

2．在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值.
【解析】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设，
有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点.
故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设，
设球心O到平面ABD距离为OF，设
，，
，
当且仅当时即取“=”.
，.
故最小为.
故答案为：.
【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键.
3．已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据几何体特征、勾股定理及其外接球体积公式计算即可.
【解析】设分别为正棱柱上下底面的中心，即，
由几何体的特征易知其外接球球心在上，如图所示，
根据正三角形的中心性质可知，同理，
设外接球半径为则，
所以有，
则外接球体积.
故选：D
【点睛】思路点睛：对于几何体外接球问题，第一步先确定球心位置，可以先通过确定一面的外接圆圆心去确定，本题几何体比较规则，容易得出球心在上下中心连线上；第二步，由点在球上及球体的特征结合勾股定理构建方程组解方程求半径即可.
4．如图，在直三棱柱中，侧棱长为，，，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.
【解析】因为为等腰直角三角形，，
所以的外接圆的圆心为的中点，
且，
设的中点为，连接，
则，平面，
设三棱锥外接球的球心为，
由球的性质可得点在上，设，，
外接球的半径为，因为，
所以，即，
又，则，
因为，所以，
则；
故选：.

【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：（1）棱长为的正方体的外接球半径为；
（2）长方体的长，宽，高分别为，，，则其外接球的半径为；
（3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球半径为.
02 ：四棱锥
5．四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据面面垂直的性质，结合勾股定理即可求解，即可求解四棱锥的高，由体积公式即可求解.
【解析】取的中点，连接，
又因为，所以，
又因为平面平面，且交线为，平面，
所以平面.
设的中心为，球心为，则平面,
于是，.
设四棱锥的外接球半径为，其表面积为,故.
过作，则四边形为矩形，
故,，
在和中，
，
，,
所以，，.
当在平面的上方，此时四棱锥的高为,
四棱锥的体积．
当在平面的下方，此时四棱锥的高为,
四棱锥的体积．
故选:C.
【点睛】本题关键要注意外心即可能在平面上方，也可能在下方，思考问题要周密.
6．已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则为二面角的平面角，设正方形的边长为，利用锐角三角函数求出，即可求出，，再设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，最后再由球的表面积公式计算可得.
【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、，
则平面，得平面，
所以为二面角的平面角，即，
设正方形的边长为，则，
又，，由，
即，解得（负值已舍去），
则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，
则，解得，
所以外接球的表面积.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在上.
03 ：棱台
7．已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析半球与各棱的切点位置，利用球的切线性质，用表示出侧棱长，从不同角度表示出棱台的高，从而建立关于的方程，然后可得.
【解析】由题意可知，为下底面，
记上底面的中心为，过作垂直于平面，垂足为，
易知点在上，记半球与分别相切于点，
由正四棱台和球的对称性可知，为的中点，
因为，所以，，
记半球的半径为，则，
所以，，
分别在中，由勾股定理得，
，
因为，所以，
解得或（舍去），
所以半球的表面积为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查学生的直观想象能力，解题关键在于利用球的切线性质，用表示出侧棱，然后根据棱台的高距离方程求出半径即可.
8．在正三棱台中，，，二面角的正弦值为，则的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记正三棱台上下底面的中心分别为，的中点分别为，的中点为，先判断为二面角的平面角，然后求出棱台的高，判断球心位置，利用勾股定理求解可得半径，然后可得体积.
【解析】记正三棱台上下底面的中心分别为，的中点分别为，的中点为，
如图，因为为等腰梯形，分别为的中点，
所以，由等腰梯形性质可知，
又为正三角形，所以，
所以为二面角的平面角，
由正棱台性质可知，平面，
因为，，所以，
所以，
易知，所以为平行四边形，
所以，所以平面，
由题知，
所以，所以，
所以，
易知，正三棱台的外接球的球心在射线上，记为，半径为
若球心在线段上，则，
即，解得，不符合题意；
若球心在下底面下方，则，
即，解得，则，
所以的外接球体积为.
故选：B
04 ：侧棱垂直于底面
9．如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．26πB．28π
C．34πD．14π
【答案】C
【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积.
【解析】如图，因为面，四边形为正方形，
所以可将四棱锥补成长方体，
则四棱锥的外接球也是长方体的外接球.
由面，所以就是与平面所成的角，
则，所以，
设四棱锥的外接球的半径为，
因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，
所以，所以，
所以四棱锥的外接球的表面积为.
故选：C
10．如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 .
【答案】
【分析】设为的中心，为四面体的外接球的球心，过作，然后在中，由求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得.
【解析】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心，
则平面．
因为二面角的大小为，即平面平面，
设为线段的中点，外接球的半径为，
连接，
过作于点，
易知为的中心，则，
因为，
故，，
在中，，
故，则．
所以外接球的表面积为，
故答案为：.
05 ：正方体、长方体
11．已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到平面平面，确定当在线段上运动时，满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥，
求出外接球半径，得到外接球体积.
【解析】分别取的中点，连接，
故，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，故，
因为平面，平面，
所以平面，
又点是棱的中点，所以，，
故四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面平面，
故当在线段上运动时，满足平面，
的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥，
其中两两垂直，且，
故其外接球半径为，
故较小部分的外接球的体积为.
故选：A
【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.
12．已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别计算小球在8个顶点和12条棱不能到达的空间体积，然后进行相加即可.
【解析】小球在8个顶点不能到达的空间相当于棱长为2的正方体挖去一个半径为1的球，
其体积为，
小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个长为3，宽为2，高为2的长方体挖去一个底面半径为1，高为3的圆柱，
其体积为，
小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱，
其体积为，
小球在，，，这4条棱不能到达的空间相当于一个长为2，宽为2，高为1的长方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱，
其体积为，
所以小球不能到达的空间的体积为，
故选：B.

06 ：其他多面体
13．如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积.
【解析】如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为，连接，分别交于点，
则点分别为的中点．
设，则，，①．
折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面的中心为，连接，
则．
连接，则是正六棱台的高，即．
过点作，垂足为，则底面，故．
在Rt中，②，
由①②得，解得，
所以正六棱台的上、下底面的边长分别为1和2．
由，可知正六棱台的外接球球心必在线段上，
连接，则为外接球的半径，设为．
在Rt和Rt中，由勾股定理得，
可得，
又因为，，，
即，解得，
则，
所以所求外接球的表面积为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.
14．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对①：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算的值，并比较它们的大小，即可得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，结合对称性即可验算.
【解析】对①：连接，取中点，连接、，
由题意可得、为同一直线，、、、四点共面，
又，故四边形为菱形，
故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角，
即异面直线与所成的角等于，故①错误；
对②：由四边形为正方形，有，
故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，
即此八面体的外接球球心为，半径为，
设此八面体的内切球半径为，
则有，化简得，
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确；
对③：将延折叠至平面中，如图所示：
则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值，
则，故③错误.
对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有，
解得，
由②可知，点到平面的距离为，
所以，
这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，
它的周长是，
根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确.
正确的编号有②④.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，根据对称性即可顺利得解.
07 ：三棱锥
15．若三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，为球的直径，且，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】由勾股定理逆定理得到⊥，故，要想该三棱锥的体积最大，则⊥平面，从而求出最大体积.
【解析】的中点为，连接，则，
因为，故，
故⊥，，
要想该三棱锥的体积最大，则⊥平面，
故最大体积
故选：B
16．在正三棱锥中，分别为的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明，，，将三棱锥补成以为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.
【解析】如图，取CD的中点Q，连接AQ、BQ，则，
由，得，
因为三棱锥为正三棱锥，所以，
而Q是CD的中点，所以，
又平面，所以平面，
由平面，得，又，
平面，所以平面，
由平面，所以，，
根据正三棱锥的特点可得，
故可将三棱锥补成以为棱的正方体，如图，
所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球.
由 得，可得正方体的棱长为，所以，
即，所以正三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D
17．已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为
B．三棱锥外接球的表面积为
C．三棱锥内切球的半径为
D．三棱锥内切球的半径为
【答案】AC
【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径.
【解析】由题意可知，，两两垂直，
则三棱锥外接球的半径满足，
从而三棱锥外接球的表面积为，
故A正确，B错误.
由题意可得三棱锥的体积，
三棱锥的表面积.
设三棱锥内切球的半径为，
因为，
所以，则C正确，D错误.
故选：AC
18．如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．的最小值为
D．三棱锥内切球的半径是
【答案】ACD
【分析】对于A，易知，，可证平面，再由线面垂直的性质定理即可得证；对于B，取中点，连接，，由，知即为异面直线和所成角，由，可推出，再由三角函数的知识即可求解；对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，连接，交于点，此时是最小值，再结合二倍角公式与余弦定理即可求解；对于D，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，球与平面相切于点，设三棱锥内切球的半径为，由 相似于，即可求解.
【解析】对于A，如图1所示，连接，，
由正三棱锥的性质可知，，
因为为中点，
所以，，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面
所以，故A正确；
对于B，如图①，取中点，连接，，
因为、分别为，的中点，
所以，，
所以即为异面直线和所成角或其补角，
因为、分别为，的中点，
所以，
由选项A知，，同理可得，
所以，
所以,
所以，
所以，
即异面直线和所成角的余弦值为，故B错误；
对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，
如图②所示，连接，交于点，此时是最小值，
连接，则，
所以，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
即的最小值是，故C正确；
对于D，如图③所示，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，
球与平面相切于点，则在上，且，
在中，，
在中，,
因为为的重心，所以，
在中，，
设三棱锥内切球的半径为，
由 相似于，得,
即，解得，故D正确；
故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查了异面直线所成角、最短距离及内切球，解题关键是作出异面直线所成角、平面展开求最值以及通过相似三角形求内切球的半径.
19．如图，正三棱锥的侧面和底面所成角为，正三棱锥的侧面和底面所成角为和位于平面的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则 ，的最大值为 .
【答案】
【分析】由几何体结构特征可知为外接球直径即得；先设，外接球半径为R，则由以及已知条件可求得，再根据几何体结构特征得，再结合两角和正切公式以及基本不等式即可求解.
【解析】由几何体结构特征可知为外接球直径，所以；
连接，交平面于点，取中点，连接，
由正棱锥性质知，且，
则、，，设，外接球半径为R，
则，
所以由得，，
又，
故，
而，当且仅当时取等，
故.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：求解的关键是由以及已知数据求出.
08 ：折叠问题
20．在中，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，根据余弦定理求出BC，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合球的性质和勾股定理求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可.
【解析】如图，
将沿直线翻折，得到满足题意的几何体为三棱锥，
因为,过点作，则
在中，，，
由余弦定理，得，所以，
设的外接圆圆心为D，半径为r，则，
由正弦定理，得，解得，即，
易知平面，又AM是球O的弦，，，
所以，
得球的半径为，
所以球的表面积为.
故选：D.
21．如图1，在矩形ABCD中，，，M是边BC上的一点，将沿着AM折起，使点B到达点P的位置.
(1)如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：平面PAM；
(2)如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.
①求证：平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②M位于点C，
【分析】（1）根据线面平行的判定即可得证；
（2）①根据线面垂直判定可证；②先分析得O是三棱锥外接球的球心，再求得直径，然后根据函数的单调性求出最值，进而利用球的体积公式求出球的体积的最大值即可
【解析】（1）如图，取PA的中点E，连接ME和EN，则EN是的中位线，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形ENCM是平行四边形，所以，
又平面PAM，平面PAM，
所以平面PAM.
（2）①由平面AMCD，平面PFH，得，
又已知，且AD，PH是平面PAD内两条相交直线，
所以平面PAD.
②，由①知平面PAD，又平面PAD，
所以，所以是，
由平面AMCD，平面AMCD，
所以，是.
如图，取PC的中点O，则点O到三棱锥各顶点的距离都相等，
所以O是三棱锥外接球的球心.
如图，过点P作于F，连HF和BF，
因为平面AMCD，平面AMCD，
所以，又PF，PH是平面PHF内两条相交直线，
所以平面PFH，又平面PFH，所以，
由和翻折关系知，所以B，F，H三点共线，且，
设，则，，
又，所以，
，，
由，得，
所以，，
所以，
，
因为在时单调递增，
所以时，有最大值，
此时，点M位于点的C位置，
所以，，.
所以点M位于点的C时，三棱锥外接球的体积的最大值为.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
一、单选题
1．（2024·新疆·三模）设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用体积相等可得答案.
【解析】设内切球的球心为，连接，
则把四棱台分割成六个四棱锥，
且六个四棱锥的高都为内切球的半径，
四棱台的高为，所以
，
化简可得.
故选：D.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出圆锥底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，然后利用等面积法计算内切球半径，最后再计算球的表面积即可.
【解析】侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径满足，解得，
所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，
设内切球半径为，由等面积法可得，则．
所以内切球的表面积为．
故选：D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，为的中点，，与平面所成的角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据线面垂直和面面垂直的判定可得平面平面，结合交线可确定线面角，进而证得平面；分别取，外接圆圆心，根据球的性质可确定球心位置，根据长度关系可求得半径，进而得到外接球表面积.
【解析】为的中点，，，即为等腰三角形，
，，均为边长为的等边三角形，
，又，平面，平面，
平面，平面平面，
平面平面，为在平面内的射影，
即为与平面所成的角，即，
，，，
又，，平面，平面.
设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，外接圆的圆心为，
连接，则平面，平面，
均为边长为的等边三角形，
，，，
三棱锥外接球的半径，
三棱锥外接球的表面积.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中多面体外接球的求解问题，本题的解题关键是能够通过面面垂直关系确定已知中所给线面角，从而确定几何体的基本结构特征，进而根据外接球的性质来确定球心位置.
4．（2024·广东·模拟预测）建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】画出图形，首先根据球的表面积公式计算得球的半径为，通过勾股定理得的值，进而得圆台的高，结合圆台的体积公式即可得解.
【解析】
设球的半径为，上､下底面分别为圆（这里上底面是指大的那个底面），
依题意，，解得，
因为，
则，同理可得，，因为圆台的高超过，则该圆台的高为，该圆台的体积为.
故选：B.
5．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.
【解析】如图所示：
由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，
，
由勾股定理得，
所以，
设点为外接圆的圆心，
则外接圆的半径为，，
设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为，
，
如图所示：
设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，
而均垂直平分，
所以点在面，面内的射影分别在直线上，
即，
由题意，且二面角为直二面角，
即面面，，
所以，即，可知四边形为矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
6．（2024·湖北荆州·模拟预测）三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分析出⊥，作出辅助线，得到点在底面的射影为的中点，点在底面的投影为的内心，先求出直角三角形的内切圆半径，由勾股定理得到方程，求出球的半径，得到球的表面积.
【解析】因为，，，所以，故⊥，
取的中点，则点在底面的射影为，连接，则，
又P到的三边距离均等于4，故点在底面的投影为的内心，
过点作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，
故四边形为矩形，又，故四边形为正方形，
设，则，
所以，解得，则，
过点作⊥，垂足为，
设，则，
如图，以，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，则，
其中，
由勾股定理得，
，故，解得，
则，则外接球的表面积为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
7．（2024·河北沧州·三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意确定三棱锥的外接球的体积最小时球心的位置，由此可求出三棱锥的高，利用体积公式，即可求得答案.
【解析】如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心.
在上取一点，满足，则，
则为三棱锥的外接球球心，
当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，
此时点与点重合.作，垂足为，，
为三棱锥的高.
由正四面体的棱长为，知，，
，.
设，则，故，.
由，得，
解得.，
.
故选：A.
8．（2023·浙江·模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到球心在的中点，然后当与球相切时直线与直线所成角的最大，过作垂足为，当平面时四面体体积取得最大值，即可求出答案.
【解析】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心在的中点，
因为是球上的动点，若直线与直线所成角的最大，则与球相切，，此时，最大，
因为，，所以，
过作垂足为，则在以为圆心，为半径的圆上运动.
所以当平面时四面体的体积取得最大值.
因为，所以，
所以，
故选：D.
二、多选题
9．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，G为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．CG与所成角的余弦值为
B．与平面的交点H是的重心
C．三棱锥的外接球的体积为
D．与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC
【分析】对于A，连接，可得即为异面直线与所成角或其补角；对于B，可得四面体为正四面体，证明平面即可判断；对于C，三棱锥和正方体有相同的外接球，求出即可；对于D，可得为直线与平面所成的角，即可求出判断.
【解析】对于A，连接，则由正方体的性质可知，
所以即为异面直线与所成角或其补角，
连接，设，则为的中点，
连接，则，
在中，，
即与所成角的余弦值为，故A正确；
对于B，连接，则，
则四面体为正四面体，
因为，平面，
所以平面， 因为平面，所以，
同理可得，因为，平面
所以平面，垂足为，又四面体为正四面体，
所以为的中心，即为的重心，故B正确；
对C，由于三棱锥的顶点均为正方体的顶点，
所以三棱锥和正方体有相同的外接球，所以外接球半径，
体积为，故C正确；
对D，连接，并延长交于点，由选项B知平面，
所以为直线与平面所成的角，由为正三角形，
且为的重心，所以为的中点，也是的中点，
在中，，
所以，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：本题考查空间角中的线线角的余弦值的求法，线面角的正弦值的求法，
法一：作出空间角再利用解三角形的知识求解，法二建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.
10．（2024·浙江绍兴·三模）平行四边形ABCD中，且，AB、CD的中点分别为E、F，将沿DE向上翻折得到，使P在面BCDE上的投影在四边形BCDE内，且P到面BCDE的距离为，连接PC、PF、EF、PB，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．三棱锥的外接球表面积为
D．点Q在线段PE上运动，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】记的中点为，过点作，证明点为点在平面上的投影，
解三角形求，判断A，证明平面，判断B，根据正四面体性质求三棱锥的外接球半径，结合球的表面积公式判断C，通过翻折，将问题转化为求的问题，求其值，判断D.
【解析】由已知，
，，
记的中点为，连接，
因为，为的中点，所以，
因为，，所以，
故，又为的中点，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
过点作，为垂足，
因为平面平面，平面，
所以平面，即点为点在平面上的投影，
因为P到面BCDE的距离为，所以，
由已知，，
所以，，又，
所以，所以，
所以，故，A正确，
因为，所以点为的外心，又为等边三角形，
所以点为的中心，
连接并延长，交与点，则，为的中点，
连接，因为，故，
所以三点共线，且，又，
所以，
又平面，平面，故，
因为，平面，
所以平面，平面，
所以，B正确；
因为为正四面体，且棱长为，
所以其外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球表面积为，C错误；
因为，，所以，
所以，故，
将翻折到同一平面，如图
所以的最小值为，且，
所以，又，D正确，
故选：ABD.
11．（2024·山东济宁·三模）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．直三棱柱体积的最大值为
B．三棱锥与三棱锥的体积相等
C．当，且时，三棱锥外接球的表面积为
D．设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】A选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B选项：根据等体积转化可判断；C选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.
【解析】A选项：由已知可得，又，
所以，即体积的最大值为，A选项错误；
B选项：如图所示，
由点为的中点，则，设点到平面的距离为，
则，，
又，所以，所以，B选项正确；
C选项：如图所示，
由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，
所以外接球半径为，外接球表面积为，C选项正确；
D选项：如图所示，
取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，
则，即，
设，，
易知，，
则，，
则，,，
所以，
当且仅当，即时取等号，故D选项正确；
故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·安徽芜湖·三模）在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则四面体的外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设四面体的外接球的球心为，列式求解可得，即可求得外接球的半径，由球的体积公式即可求得答案.
【解析】以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设四面体的外接球的球心为，
则,即得
，
整理得，解得，
故四面体的外接球的半径为，
故四面体的外接球的体积为，
故答案为：
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，探求点在平面内的投影的轨迹，确定当三棱锥体积最小时点的位置，进而可得并求出外接球半径，求出球的表面积.
【解析】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且，

则，，，于是，
以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

令，由，，得，，，
则，化简得，
因此点在以为圆心，为半径的圆上，
当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，
此时，，，，
因此点在底面上的射影在上，且，又，
显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点，
外接球的半径，表面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球半径即可.
14．（2024·江西新余·二模）如图1，在直角梯形中，，，，，，点E，F分别为边，上的点，且，.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点M是四边形内（含边界）的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】60π
【分析】先结合线面角的定义与已知条件可得，从而知，过点作于点，根据三棱锥的体积公式，将条件转化为取得最大值，再结合勾股定理确定点的位置，然后利用补形法求外接球的半径即可．
【解析】翻折前，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，
同理可得，即为直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，
所以，
而，，
所以，即，
设，则，
过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
即点到平面的距离为，
因为三棱锥的体积，且为定值，
所以要使三棱锥的体积取得最大值，则需取得最大值，
设，，则，
由勾股定理知，，，
所以，，
消去整理得，，，，
当时，取得最大值12，即取得最大值，此时点在线段上，且，
所以，，两两垂直，
所以三棱锥的外接球就是以，，为邻边构成的长方体的外接球，
所以，
所以外接球的半径，
所以当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.