广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 如图，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 经过点和的直线的倾斜角为，则（ ）
A. 3.5B. 8C. -2D. 2
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 12B. -12C. 9D. -9
4. 已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D. 3
5. 袋子中有个大小质地完全相同球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（ ）
A B. C. D.
6. 在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ）

A. B. C. D. 1
8. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，不可能共面
B 若，，则
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. ，，一定能构成空间的一个基底
10. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. （多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 在方向上的投影向量是
D. 平面ABC的一个法向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线经过点和，且方向向量，则的值为_________．
13. 设事件与相互独立，，，则______，______．
14. 如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知：，，，，，求：
（1），，；
（2）
16. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．

（1）证明：；
（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
18. 正方体的棱长为2，为棱上一点．
（1）求证：；
（2）若为中点，求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．