2024-2025学年广东省深圳市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．直线的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
3．若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
5．已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．[1,4]
6．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A．B．C．D．或
7．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．1D．
8．已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．下列圆中与圆相切的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ）
A．
B．与所成角的余弦值是
C．点到平面的距离为
D．过点的平面截四棱锥的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则线段的中点坐标为 .
13．若直线与直线平行，则与之间的距离为 .
14．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．求满足下列条件的圆的标准方程.
(1)圆心为，经过点；
(2)圆心在直线上，且与轴交于点.
16．已知向量，，.
(1)当时，若向量与垂直，求实数的值；
(2)若向量与向量、共面，求实数的值.
17．已知的三个顶点是.
(1)求BC边上的高所在直线的方程;
(2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
18．已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合）
(1)求证：的面积为定值;
(2)设直线与圆交于点A，B，若，求实数的值；
(3)在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆上的动点，求|PQ|的最小值及此时点的坐标.
19．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.
故选：C
2．【正确答案】C
【详解】由，得，所以直线的斜率为，
又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为，
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】设直线所成角为，
所以，
所以.
故选：B
4．【正确答案】A
【详解】由，得，故圆心为，
又因为圆关于直线对称，
故圆心在直线上，则.
故选：A
5．【正确答案】D
【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率，
因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4].
故选：D．
6．【正确答案】D
【详解】因为，
所以，则或.
故选：D
7．【正确答案】B
【详解】如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，如下所示：
易知，，;
取，，则，
所以点到直线的距离为．
故选：B.
8．【正确答案】A
【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径，
设中点为，则，且，可得，
又因为，可知为等腰直角三角形，
则，可得，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
因为直线上存在点使得，
即直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，解得或.

故选：A
9．【正确答案】BD
【详解】当截距为0时，设直线的方程为，
将点代入可得，所以，即;
当截距不等于0时，设直线的方程为，
将点代入可得，解得，
所以直线的方程为，即，
所以直线的方程为或.
故选：BD
10．【正确答案】AB
【详解】由题知，圆的圆心为，半径为4.
A选项，的圆心为，半径为2，故，
由于，所以圆与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，故，
由于，故圆与不相切，C错误;
D选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆与不相切，D错误.
故选：AB．
11．【正确答案】AC
【详解】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，所以，故A正确；
，则与所成角的余弦值为，故B错误；
，设平面的法向量为n=x,y,z，
则令，可得，
则点到平面的距离为，故C正确；
设过点的平面与线段的交点为，
则，
因为共面，则共面，
故存在唯一实数对使得，
即，
所以 解得，
所以，则，因为，
所以，
所以过点的平面截四棱锥的截面面积为
，故D错误．
故选：AC
12．【正确答案】
【详解】因为，所以线段的中点坐标为，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】因为直线与直线平行，
所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足，
所以与之间的距离，
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】法一:因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线:上有两个点，
所以直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故．
法二:由题知两平面与的法向量分别为，
设直线的一个方向向量，
则即取，则，
又平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
（2）因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得，即.
由，且，
得，解得.
（2）因为向量与向量、共面，所以设，
因此，
即，解得，故的值为.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1，
所以BC边上高所在直线为，即.
（2）因为点A，B到直线的距离相等，
所以直线与AB平行或过AB的中点，
①当直线与AB平行，
所以，
所以，即.
②当直线过AB的中点，
所以，
所以，即.
综上，直线的方程为或.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)最小值为，点
【详解】（1）由圆的方程，化简得，
其与轴，轴的交点分别为:，
所以为定值.
（2）如图①所示，因为，所以.
又OC的斜率，所以，解得（负数舍去），
（3）如图②所示，由②知:圆的方程为:，圆心，半径.
设点关于直线的对称点为，
则中点为，且解得，即，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为，
此时直线的方程为:，即.
点为直线与直线的交点，则解得即点
19．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，或.
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；
（3）假设存在点，使平面与平面所成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在平面内，所以平面；
（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面所成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面所成角余弦值为. 此时的长度为或.