2024-2025学年广东省湛江市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．过直线上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
8．已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，，则（ ）
A．当时，直线的一个方向向量为
B．若与相互平行，则或
C．若，则
D．若不经过第二象限，则
10．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．不存在实数，使得D．若，则
11．圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．对于任意的，圆与圆始终相切
B．对于任意的，圆与圆始终有四条公切线
C．当时，圆被直线截得的弦长为
D．P，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知空间向量和，则在上的投影向量为 (用坐标表示).
13．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为 ．
14．椭圆的焦距为2，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值.
16．某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物，，鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物，相互独立．
(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物的概率；
(2)以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取户，求至少有户选择种植农作物的概率；
(3)经调研，农作物的亩产量为斤、斤、斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物，求这两个农户中，甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村的概率．
17．设常数，已知直线：，：．
(1)若，求的值；
(2)若，求与之间的距离．
18．已知平面四边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.

(1)证明：平面；
(2)若是线段上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
答案
1．【正确答案】A
【详解】解：因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角是，
故选：A
2．【正确答案】B
【详解】根据题意，由，
设，
即
解得：，
则有，
由此得．
故选：B.
3．【正确答案】B
【详解】因为，
所以，
因为平面的法向量，
所以点到平面的距离.
故选：B
4．【正确答案】B
【分析】根据椭圆离心率的定义和的大小关系求解离心率的取值范围即可.
【详解】由椭圆，
则椭圆的离心率，
又因为，则，
所以.
故选：B
5．【正确答案】A
【分析】求出圆C的半径和圆心，由勾股定理可得，当时最小，再由点到直线的距离公式可得答案.
【详解】因为圆C的半径为，所以，
当时，最小，因为圆C的圆心为，
所以，所以的最小值为．
故选：A.
6．【正确答案】A
【分析】根据空间向量基本定理得到，故.
【详解】为四面体的棱的中点，为的中点，
故，，
，
因为，所以，
.
故选：A
7．【正确答案】D
【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
则所求直线即为两圆的公切线，
因为，且，
可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条.
故选：D.
8．【正确答案】C
【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】如图所示：
由，得，
则，
则圆的圆心是为椭圆的左焦点，
则右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故选：C
9．【正确答案】CD
【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D.
【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，，A错误；
对B，若与相互平行，则，解得或，
当时，与重合，B错误；
对C，若，则，解得，故C正确；
对D，若不经过第二象限，，即，
则，解得，D正确.
故选CD.
10．【正确答案】AC
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，假设，则，
所以，该方程组无解，故C正确；
对于D，因为，所以，解得，
所以，，所以，故D错误.
故选：AC.
11．【正确答案】ACD
求出圆心距，判断两圆位置关系絈可判断AB，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长判断C，由两圆心距离可判断D．
【详解】由已知，，等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误；
时，，到已知直线的距离为，则弦长为，C正确；
由于，∴，共线时最大值．D正确．
故选：ACD．
12．【正确答案】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得在上的投影向量的坐标.
【详解】已知空间向量和，
则在上的投影向量为
.
故答案为.
13．【正确答案】或
【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故或．
14．【正确答案】3或5
【分析】本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果．
【详解】解：因为椭圆的焦距为，所以，
若焦点在轴上，则有，解得；
若焦点在轴上，则有，解得；
综上所述，或．
故3或5．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由余弦定理得，
整理得，
因为，所以，所以，则，所以.
（2）由余弦定理得，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以三角形ABC的面积最大值为．
16．【正确答案】(1)甲、乙两村选择种植农作物的概率分别为，
(2)
(3)
【分析】（1）根据表中数据，利用古典概型的概率求解；
（2）根据甲村和乙村选择种植农作物与种植农作物的概率，利用独立事件和互斥事件的概率求得随机抽取的户中有户选择和有户选择种植农作物的概率，再利用对立事件的概率求解；
（3）分甲村种植农作物的亩产量为斤，乙村为800斤和甲村为1000斤，乙村为800斤或900斤三类，利用独立事件的概率求解.
(1)
解：记“甲村选择种植农作物”为事件，“乙村选择种植农作物”为事件，
则，．
(2)
因为甲村选择种植农作物与种植农作物的概率估计值分别为，，
乙村选择种植农作物与种植农作物的概率估计值分别为，．
随机抽取的户中有户选择种植农作物的概率为：
．
有户选择种植农作物的概率为：
．
记“至少有户选择种植农作物”为事件，
则．
(3)
记“甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村”为事件，
则．
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，直线：，：，
若，则，解可得a
（2）根据题意，若，则有，解可得或，
当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意，
当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因，，故，
又，且，故
在直角梯形中，，
由可得；
因平面平面，，平面平面，
则平面，又平面，
则，又，因平面，
故平面.
（2）如图，连接交于，因为，，

故，，故，
则为等腰直角三角形，故，
又，故，为靠近的三分点，
又因为平面平面，平面，平面，
故，则为靠近的三分点，
如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，可取，
因为靠近的三分点，则，
故，
，
设平面的法向量为，
则由，可取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19．【正确答案】（1）或；（2）或；（3）
【详解】试题分析：解：（Ⅰ）由条件可知，设，则解得或，所以或
(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，
则，解得或
所以直线的方程为或
（III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，
其方程为
整理得与相减得
即
由得
所以两圆的公共弦过定点
考点：两点间的距离公式；点到直线的距离公式；圆的方程．
点评：本题第一、二小题较容易，第三小题较难．但第三小题解法巧妙，使得问题简化．这种解法是这样的，将两圆的方程相减，得到一条直线的方程，由于两圆相交于两点，因而这条直线也经过这两点，故这条直线就是弦所在的直线．
村庄
农作物
甲村
乙村
A
250
150
B
250
350