海南省海口市美兰区海口实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份海南省海口市美兰区海口实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了5 C，在正方体，关于空间向量，以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

(考试时间: 150分钟 试卷满分: 150分)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题： 本大题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.下列直线中过第一、二、四象限的是( )
A.y=2x+1 B.y=12x+12
C.y=-2x+4 D.y=32x-3
2.在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中， ∠ACB=90°, 2AC=AA₁=BC=2,D 为 AA₁上一点.若二面角 B₁-DC-C₁的大小为 60°,则AD的长为
A.2 B.3 C.2 D.22
3.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则
A.AB与 AC是共线向量
B.AB的单位向量是(N,1,0)
C.AB与 BC夹角的余弦值是 5511
D.平面ABC的一个法向量是( 1-25
4.在三棱锥 P-ABC中， PA⊥平面ABC,∠BAC= 90°,,D,E,F 分别是棱AB,BC,CP 的中点, AB= AC=1,PA=2,,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ( )
A.13 B.23 C.33 D.55
5.已知一组数据5,2,x,5,8,9,且 5A.6 B.6.5 C.7 D.7.5
6.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为 Ax+ By+ Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B，C不同时为零)，点 Px₀y₀z₀到平面α的距离 d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,则在底面边长与高都为2 的正四棱锥. P-ABCD中，底面中心O到侧面 PAB 的距离d 等于（ ）
A.55 B.255 C.2 D.5
7.在正方体. ABCD-A₁B₁C₁D₁中， AB=2,E为 CC₁的中点，点F满足 DF=xDC+yDD1 x∈01y∈01,下列结论错误的是( )
A. 若 x=12,则点F到平面 DBB₁的距离为 2
B. 若 x+y=1,则四面体. A₁-BEF的体积是定值
C. 若 A1F=5,则点F的轨迹长为π2
D. 若. x=1,y=0,则存在点 P∈A₁B,使得 AP+PF的最小值为 22+2
8.若E∉平面γ, F∈平面γ, EF⊥平面γ, 则称点F为点E在平面γ内的正投影，记为 F=tγE.如图，在直四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁中， BC=2AD, AD⊥AB,P,N 分别为 AA₁,CC₁的中点， DQ=3QD1,AB=BC=AA1=6.记平面 A₁BC为α, 平面ABCD为/β, AH=λAA1(0<λ<1), K1=tβtaH，K2=tatβH.则不正确的是（ ）
A. 若 A1N=2A1Q-2A1P+μA1B, 则 μ=1
B. 存在点H, 使得 HK₁⊥HK₂
C. 线段 HK₁长度的最小值是 655
D. 存在点H, 使得 HK₁//平面α
二、多项选择题： 本大题共3小题， 每小题6分， 共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得0分.
9.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A.已知三棱锥O-ABC,点 P 为平面 ABC 上的一点，且 OP=12OA+mOB-nOCmn∈R,则 m-n=12
B.已知向量u，v不共线，若( a=u+v,b=3u+2v,c =2u-3v,则a,b,c共面
C.已知向量( a‖b,，则存在向量可以与a，b构成空间的一个基底
D.已知空间两点 A(1,0,2),B(2,--2,--1),若向量 CDAB,且 |CD|=27,则 CD=2AB
10.在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.下列说法正确的是（ ）
A.平均来说甲队比乙队防守技术好
B.乙队比甲队防守技术水平更稳定
C.甲队防守有时表现很差，有时表现又非常好
D.乙队很少失球
11.已知空间中的三点 A(0,1,0),B(2,2,0), C-131,，则下列说法不正确的是（ ）
A.AC不是直线AB 的一个方向向量
B.直线 AB 的一个单位方向向量是 255-550
C.AB与 BC夹角的余弦值是 5511
D.平面ABC 的一个法向量是( 1-25
三、填空题： 本大题共3小题， 每小题5分， 共15分.
12.已知正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,E,F分别是棱AD, B₁C₁上的中点.若点 P 为侧面正方形 ADD₁A₁ 内(含边)动点，且存在x， y∈R,使 B1P=xBE+yBF成立，则点 P 的轨迹长度为
13.在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中， AB=AC=3,BC= AA₁=2,点 P 满足 CP=mCB+32-mCC1,其中 m∈032,则直线 AP 与平面 BCC₁B₁所成角的最大值为
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点 P.若AB=6,则cs∠PAC= ;若AC:AB:BC=6:5:4, 则PA+PB+PC 的值为
四、解答题： 本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知直线 l :kx-y+2+4k=0k∈R.
(1)若直线l不经过第四象限，求k 的取值范围；
(2)若直线 l交x轴的负半轴于点 A，交y轴的正半轴于点 B，O为坐标原点，设 △AOB的面积为 S，求S 的最小值及此时直线l 的方程.
16.（15分）记 △ABC的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知 b2+c2-a2csA=2.
(1) 求 bc;
(2) 若 acsB-bcsAacsB+bcsA-bc=1,求 △ABC面积.
17.(15分)某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示：
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
(1)求x : y : z的值;
(2)若抽到B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场的高一、高二、高三年级的学生人数.
18．（17分）如下图，直角梯形中， , ，平面平面，为等边三角形， 分别是的中点，.
(1)证明：;
(2)证明：平面;
(3)若,求几何体的体积.
19. (17分)已知椭圆 :x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为 23,直线 l:y=kx+1过点 M112,且与椭圆E相交于P， Q两点， M是线段PQ的中点， O为坐标原点.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 若梯形ABCD的顶点都在椭圆E上， 且. AB‖CD,对角线AC和BD交于点M，
线段AB, CD的中点分别为G, H.
(i) 证明: G, H, O, M四点共线;
( ii) 试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点， 若是， 请求出该定点并证明；若
不是， 请说明理由.

高一
高二
高三
A会场
50%
40%
10%
B会场
40%
50%
10%
2023级高二年级第一学期期中考试
数学参考答案
单项选择题（每小题5分，共40分）
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.√52
13.45°
14.√32，332
四、解答题（共77分）
15.(1)直线 l的方程可化为 y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为 4k+2,
要使直线l不经过第四象限，需满足 k≥0,4k+2≥0,解得 k≥0,故k的取值范围是 k≥0.
(2)依题意，直线 l 在x 轴上的截距为 -4k+2k,在 y轴上的截距为 4k+2,且 k>0,
所以 A-4k+2k0,B04k+2,
故 S=12|OA||OB|=22k+12k=24k+1k+4≥2 ×4+4=16,
当且仅当 4k=1k,即 k=12时取等号，
故 S 的最小值为16，
此时直线 l 的方程为 y=12x+4.
16.解: (1) 因为 b2+c2-a2csA=2bccsAcsA=2bc=2,所以 bc=1;
2acsB-bcsAacsB+bcsA-bc=sinAcsB-sinBcsAsinAcsB+sinBcsA-sinBsinC=1 所以 sinA-BsinA+B-sinBsinC= sinA-B-sinBsinC=1,所以 sinA-B-sinB=sinC=sinA+B,所以 sinAcsB-sinBcsA-sinB= sinAcsB+sinBcsA,即 csA=-12,由A为三角形内角得 A=2π3,ABC面积 S=12bcsinA=12×1×32 =34
17.(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,则去A会场的学生总数为0.25(a+b +c),去B会场的学生总数为0.75(a+b+c).对应人数如下表所示 , 则 x:y:z=0.425a+b+c:0.475a+b+c:0.1(a+b +c)=17 : 19 : 4.
(2)由题意，得n×0.75×0.5 = 75.解得 n = 200.所以抽到A会场的学生总数为50人.
所以抽到A会场的高一年级的人数为50×50%=25，高二年级的人数为50×40%=20，高三年级的人数为50×10%=5.
18.(1)为等边三角形，是的中点

又因为平面平面，交线为,平面，
根据面面垂直的性质定理得 平面，
又平面，
；
(2)取中点G，连接，
，
,且，
,，
,且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面
平面；
(3)在直角梯形中，，
则直角梯形的面积为，
由（1）可知平面，是四棱锥的高，
在等边中，由边长，得，
故几何体的体积为：.
19. 解： (1) 由直线l过点M 易得直线l的方程为 y=-12x+1,
设 PxPyP,QxQyQ,
联立 y=-12x+1x2a2+y2b2=1,消去y并整理得 b2+a24x2-a2x+a2-a2b2=0,Δ>0,…2分
由韦达定理可得 xP+xQ=a2b2+a24=2,整理得 a²=4b²,
又因为 2c=23,a2=b2+c2,
解得a=2, b=1,
所以椭圆E的方程为 x24+y2=1
(2)(i)不妨设AB∥CD, AB的中点为G, CD的中点为H,
设 Ax₁y₁,Bx₂y₂,Cx₃y₃,Dx₄y₄,
由题知可得直线AB斜率必存在， x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
以上两式相减得 x1-x2x1+x2a2+y1-y2y1+y2b2=0,
移项得 y1-y2y1+y2x1-x2x1+x2=-b2a2,即 kAB⋅kOG=-b2a2,.
同理 kCD⋅kOH=-b2a2,
又因为AB∥CD, 所以 kAB=kCD,
因此 kOG=kOH,即O, G, H三点共线,
又因为四边形ABCD是梯形， 且AC与BD交与M，
由平面几何知识可知M， G， H三点共线，
即得证G, H, O, M 四点共线
( ii) 由(i) 易知 kOG=kOH=kOM=12,所以 kAB=kCD=-12,
设直线AB的方程为： y=-12x+m,直线CD的方程为： y=-12x+n,
联立 y=-12x+mx24+y2=1,消去y并整理得 2x²-4mx+4m²-1=0,
由韦达定理得 x₁+x₂=2m,不妨设 x1=m-2-m2,x2=m+2-m2,
同理： x3+x4=2n,x3=n+2-n2,x4=n-2-n2,
kBD=y4-y2x4-x2=-12x4+n--12x2+mx4-x2=-12+12×2n-2mx4-x2=
-12+12×x3+x4-x1+x2x4-x2=-12+12×=12×x3-x1x4-x2
=12×n+2-n2-m-2-m2n-2-n2-m+2-m2=12×n-m+2-m2n-m-2-n2-2-m2,
因为 kBM=kBD,
所以，化简得 2-m2+2-n21-m=2-m2n-m,
即 2-m21-n=2-n2m-1,
上式两边同时平方化简得 2mn-3(m+n)+4=0. …13分
设梯形两腰AD与BC的交点为T，
由平面几何知识易知T， G， H三点共线， 故设 Tx012x0,
由 △MAB-△MCD,△TAB-△TCD可得 dM-ABdM-CD=ABCD=dH-ABdH-CD,
(注: dM-AB为M 到的直线AB的距离， dM-CD为M 到直线CD的距离， dT-AB为T到的直线AB的
距离， dT-CD为T到直线CD的距离)
dT-ABdT-CD=25|m-x0|25|n-x0|=|m-x0||n-x0|,
所以 |m-1||n-1|=|m-x0||n-x0|,
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
D
A
B
A
B
题号
9
10
11
答案
AB
ABC
BC

高一
高二
高三
A会场
0.125(a +b +c)
0.1(a+b+c).
0.025(a+b+c)
B会场
0.3(a +b +c)
0.375(a+b +c)
0.075(a +b+c)