2023届海南省海口市海南省农垦实验中学等2校高三一模数学试题含解析

2023届海南省海口市海南省农垦实验中学等2校高三一模数学试题

一、单选题

1．若复数为纯虚数，则实数的值为（    ）

A．2 B．2或 C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.

【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，

所以实数的值为.

故选：C

2．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用集合的包含关系求解作答.

【详解】解不等式，得，于是，而，

因为，则，因此，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：B

3．已知，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再将正切值代入即可.

【详解】因为，

所以，

故选：A.

4．已知直线与圆：（）交于A，两点，且线段关于圆心对称，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得圆心的坐标，进而列出关于的方程，解之即可求得的值.

【详解】圆：的圆心，

由圆心在直线上，可得，

解之得.

故选：D

5．家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（    ）

A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元

【答案】D

【分析】分析可知该家庭农场的收益依次成等差数列，求出公差，利用等差数列的求和公式即可求解.

【详解】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为，

可得，，所以公差为，

所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为，

故选：D

6．若函数，则的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据函数的奇偶性，排除A，C，再由在上函数值恒为正，排除D，可得答案为B.

【详解】因为定义域为，

又，

所以为奇函数，图象关于原点对称，可排除A，C.

又当时，，可排除D.

故选：B.

7．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用直线与平面所成的角为45°求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度.

【详解】若点P在正方形内，

过点P作平面于，连接.

则为直线与平面所成的角，则，

又，则，则，

则点的轨迹为以为圆心半径为2的圆（落在正方形内的部分），

若点P在正方形内或内，轨迹分别为线段，

因为点P不可能落在其他三个正方形内，

所以点的轨迹长度为.

故选：A

8．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据三个式子的结构，构造函数，求导判断单调性，进而比较，，的大小，即可得，，的大小关系.

【详解】令，则，

，，

由可得且，

由可得；所以在上单调递减，

因为，所以，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．某网友随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：1.7，2.3，1.9，2.1，2.2，2.1，1.9，1.7，2.2，1.9．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法正确的是（    ）

附：若随机变量服从正态分布，则，，

A．这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0

B．这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04

C．这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8

D．用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135

【答案】AD

【分析】求得这10位自媒体人粉丝数据的平均数判断选项A；求得这10位自媒体人粉丝数据的标准差判断选项B；求得这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数判断选项C；求得该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率判断选项D.

【详解】选项A：这10位自媒体人粉丝数据的平均数为

.判断正确；

选项B：这10位自媒体人粉丝数据的标准差为

.判断错误；

选项C：将粉丝数据（单位：万人）从小到大排列：

1.7，1.7，1.9，1.9，1.9，2.1，2.1，2.2，2.2，2.3．

，则这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.9. 判断错误；

选项D：用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的

概率约为.判断正确.

故选：AD

10．已知抛物线的方程为，为焦点，为坐标原点，S表示面积，直线：与抛物线交于A，两点，且A在第一象限，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B，C；求得的值判断选项D.

【详解】抛物线的焦点，

由，可得或，

则，，

.选项A判断正确；

.选项B判断错误；选项C判断正确；

.选项D判断错误.

故选：AC

11．若函数（，，）的图象如图，且，，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的周期为5

B．函数的对称轴为，

C．函数在内没有单调性

D．若将的图象向左平移（）个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为1

【答案】BD

【分析】根据给定的函数及图象，结合“五点法”作图，求出函数的解析式，再逐项分析、计算判断作答.

【详解】观察图象知，，而，解得，又，则，

因为，由“五点法”作图知，，解得，于是，

对于A，函数的周期，A错误；

对于B，由，得，函数图象的对称轴为，B正确；

对于C，当时，，因此函数在上单调递增，C错误；

对于D，将的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，

依题意，，解得，因此，D正确.

故选：BD

12．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（    ）

A． B．

C．存在最大值 D．的最大值为

【答案】ABC

【分析】对于AB，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.

【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，

所以，

则，故A正确；

，

则

，故B正确；

如图，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，

因为点在以的中点为圆心，为半径的单位圆上，且在轴的下半部分，

设，

则，

所以，

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值，故C正确；

因为，所以，

即，

所以，所以，

因为，所以当时，取得最大值，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知向量，，定义，则______．

【答案】3

【分析】根据向量数量积夹角公式，以及模的公式，即可求解.

【详解】由题意可知，，，，

所以，则，

那么.

故答案为：3

14．已知6名同学国庆假期相约去珠海野狸岛游玩，途中6名同学排成一排照相留念，若甲、乙、丙3人互不相邻，则不同的排法共有______种．

【答案】144

【分析】根据给定条件，利用插空法列式计算作答.

【详解】依题意，先排除甲、乙、丙外的另外3人，有种，再在形成的4个间隙中插入甲、乙、丙3人，有种，

所以不同的排法种数是.

故答案为：144

15．在平面内，设一动点到点，的距离差的绝对值等于（），若动点的轨迹是曲线，则曲线的离心率的最小值为______．

【答案】4

【分析】根据双曲线的定义可得，从而利用离心率公式和基本不等式即可求解.

【详解】在平面内，设一动点到点, 的距离差的绝对值等于 ，

所以，

可得曲线的离心率为：，当且仅当时取等号，

所以曲线的离心率的最小值为.

故答案为：.

16．已知母线的长为的圆锥，其侧面积为，是该圆锥内切球球面上一动点，则的最大值为______．

【答案】/0.125

【分析】先利用题给条件求得圆锥内切球球半径，再利用向量数量积定义即可求得的最大值.

【详解】设圆锥的底面圆心为O，圆锥内切球球球心为，中点为S，

圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥的底面半径为

则，

则圆锥内切球球半径为

，

，

又，则，

则的最大值为

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列中，，．数列的前项和为，满足．

(1)求数列，的通项公式；

(2)记求数列的前20项的和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求得等差数列的首项与公差的值，进而求得通项公式；利用数列的前项和与通项的关系即可求得数列的通项公式；

（2）利用分组求和法即可求得数列的前20项的和．

【详解】（1）设数列的公差为，由题意得

解得，，∴．

∵，∴，

两式相减，得，即，

当时，，解之得 ，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴．

（2）根据题意，

∴

．

18．在圆内接四边形中，已知，，，为锐角．

(1)求及的长；

(2)求四边形周长的最大值．

【答案】(1)，；

(2)5.

【分析】（1）在中利用正弦定理及勾股定理求解作答.

（2）利用（1）的结论，结合余弦定理及均值不等式求出的最大值作答.

【详解】（1）在中，由正弦定理，得，

即，而为锐角，解得，

因此为直角三角形，则，

所以，.

（2）因为四边形为圆内接四边形，且，则，

在中，由余弦定理，得，

即，

所以，当且仅当时取等号，

所以四边形周长的最大值为.

19．某商场对，两类商品实行线上销售（以下称“渠道”）和线下销售（以下称“渠道”）两种销售模式．类商品成本价为120元件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格走渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走渠道销售；类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走渠道销售，有40%将按照原价7.5折的价格走渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完．

(1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；

(2)某商场举行让利大用卖活动，全场，两类商品走渠道销售，假设每位线上购买，商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买类商品的概率为．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设为该商场当天所售类商品的件数，为当天销售这两类商品带来的总收益，求的期望，以及当（）时，可取的最大值．

【答案】(1)类商品单件收益的均值更高

(2)；可取的最大值为4

【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可得出结果；

（2）类商品的销售件数符合二项分布，先列出这5件衣服总收益关于的关系式，得，结合化简即可求解；再求出对应的概率值，可确定可取的最大值，

【详解】（1）设类，类商品单件收益分别为元，元，

则元，

元，

，故类商品单件收益的均值更高.

（2）由题意可知，，元，

又元，

所以元，

，，

，，

，，

，

，

所以当（）时，可取的最大值为4．

20．如图所示的多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，．

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面与平面夹角的余弦值．

【详解】（1）正四棱锥中，连接交于O，则平面

则，又，，则，

又，则四边形为菱形，则，

又平面，平面，则平面，

又，平面，平面，则平面，

又，平面，平面，

则平面平面；

（2）中，，，则，

以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴空间直角坐标系：

则

则

设平面的一个法向量为,

则，令，则，则

设平面的一个法向量为,

则，令，则，则

则

平面与平面夹角的余弦值为

21．已知椭圆：的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为椭圆上一动点，且不与顶点重合，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用题给条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程；

（2）先求得的点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得的值．

【详解】（1）由题意得，则，解得

所以椭圆的标准方程为．

（2）由（1）知，，

设，，，则．

直线的方程为，

令，得，从而，

直线的方程为．令，得，

从而，

所以

.

所以．

22．已知函数，．

(1)求的单调区间；

(2)若，证明：；

(3)对于任意正整数，，求的最小正整数值．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)3

【分析】（1）利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；

（2）根据（1）的结论及函数的单调性与最值的关系即可求解；

（3）将不等式恒成立问题转化为最值问题，根据（2）的结论及不等式放缩，再利用对数不等式求解.

【详解】（1）因为，所以，

若，则当时，，函数单调递增；

若，则当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．所以，即，

所以当时，，故当，，∴．

又，即，故．

（3）由（2）知，当时，，即，

则有，当且仅当时等号成立，

∴.

一方面：,

即.

另一方面：当时，，

当时，.

∵，,

∴t的最小正整数值为3．

【点睛】解决此题的关键第一问利用导数的正负与函数的单调性的关系注意参数的讨论，第二问，根据第一问的结论及函数的最值与单调性的关系即可；第三问，将横成立问题转化为最值问题，利用不等式（当且仅当取等号）及不等式放缩即可.