海南省海口市海口中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（A）

这是一份海南省海口市海口中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（A），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
命题：李昌平 审题：吴锦坤
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
2.直线的倾斜角为
A.B.C.D.
3.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为
A.B.C.D.
4.已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为
A.B.3C.D.
5.若正数，满足，则的最小值为
A.2B.C.3D.
6.给出关于双曲线的三个命题：
①双曲线的渐近线方程是；
②若点在焦距为4的双曲线上，则此双曲线的离心率；
③若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上.
其中正确命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
7.设函数，则
A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减
8.已知圆在椭圆的内部，为椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，且切线交椭圆于另一点，为线段的中点，若直线（为坐标原点）的斜率为，则椭圆的离心率为
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
10.对于函数，下列说法正确的是
A.的最小正周期为
B.在上单调递增
C.当时，的取值范围为
D.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
11.已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是
A.曲线有4条对称轴B.的最小值是
C.曲线围成的图形面积为D.的最大值是1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_____.
13.已知，，若同时满足条件：
①，或；②，.
则的取值范围是_____.
14.已知圆，直线，点在上运动，过点作圆的切线、，切点为、，则四边形的面积的最小值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且，，.
（l）求角及边的值；
（2）求的值
16.（15分）如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，.
（1）若是线段的中点，证明：平面；
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）已知平面内一动点到点的距离比它到轴的距离大1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线、，设与轨迹相交于点、，与轨迹相交于点、，求的最小值.
18.（17分）甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为.
（l）求乙、丙各自解出该题的概率；
（2）求甲、乙、丙3人中恰有2人解出该题的概率.
19.（17分）已知椭圆的离心率为，，是它的左、右顶点，过点的动直线（不与轴重合）与相交于、两点，的最大面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是直线与直线的交点.
（i）证明为定值；
（ii）试探究：点是否一定在以线段为直径的圆内？证明你的结论.
高二数学A卷参考答案
一、选择题：
1.【答案】A
2.【答案】B
【解析】直线方程可化为，所以直线的斜率为，即倾斜角的正切，又，所以.故选B.
3.【答案】B
【解析】设它们的底面半径均为，圆锥的母线长为，则，解得，在圆锥中，，则圆锥的体积为.故选B.
4.【答案】C
【解析】圆即，所以圆心的坐标为，半径，
直线，即，恒过定点，易知点在圆内，
则当直线与垂直时，弦最小，此时，
则的最小值为.故选C.
5.【答案】B
【解析】由正数，满足，得
，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故选B.
6.【答案】C
【解析】对于①：双曲线的渐近线方程应是，故①错；
对于②：双曲线的焦点为、，，，从而离心率，所以②正确；
对于③：，，的中点坐标均不满足其渐近线方程，所以③正确.故选C.
7.【答案】D
【解析】由已知，函数定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数，
排除A、C；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.故选D.
8.【答案】D
【解析】设，，，则，.
又 所以，
所以，即.
连接，则，所以直线的斜率，所以直线的斜率，即.
又，所以，所以，
所以椭圆的离心率.故选D.
二、选择题：
9.【答案】ABD
【解析】对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项A正确；
对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项B正确；
对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项C错误；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确.故选ABD.
10.【答案】BC
【解析】，最小正周期为，故A错误；
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，的取值范围为，故C正确；
函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故D错误.故选BC.
11.【答案】ACD
【解析】当，时，原方程化为，其图形是圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，又由于图象关于轴，轴对称，所以曲线如图所示.
对于A，由图可知：轴，轴，都是它的对称轴，故A正确；
对于B，表示曲线上的点到直线：的距离的倍，如图，显然当是时距离最小，为，所以最小值为，故B错误；
对于C，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成，故面积为，故C正确；
对于D，设，它表示点与点确定的直线的斜率，设该直线方程为，根据图象，可知当，，即，则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率是的最大值，则由，得，解得或（舍）.则的最大值为1，故D正确.故选ACD.
三.填空题：
12.【答案】8
【解析】因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，
所以四边形为矩形，设，，
由椭圆的定义可得，所以，
因为，即，
所以，所以四边形的面积为.
13.【答案】
【解析】易知时，，时，，所以由①得时，，
由②得，.显然不满足条件，当时是二次函数，
由二次函数的图像与性质知应满足的条件是，解得.
14.【答案】
【解析】将圆方程化为，知其圆心，半径，
又易知，，
所以四边形的面积，
所以当最小时，即直线与直线垂直时，四边形面积最小，而，所以.
四.解答题：
15.【解析】（1）在中，因为，
由余弦定理得，因为，所以，
因为，，所以，
由正弦定理得，即，解得；
（2）由（1）得，
，
.
16.【解析】（1）取的中点为，连接，，因为是线段的中点，
所以，，又，，
所以，，故四边形为平行四边形，
所以，而平面，平面，所以平面.
（2）因为，，所以，从而，
又，所以四边形为平行四边形，，
因为平面，所以平面，
而，平面，故，，
而，故以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.【解析】（1）设动点的坐标为，由题意有，
即，
当时，；当时，.
所以动点的轨迹的方程为和.
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为.
由，得，
设、，则，是上述方程的两个实根，于是，.
因为，所以的斜率为.
设、，则同理可得，，
故
.
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为16.
18.【解析】（1）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件，则，，相互独立，
由题意得，，所以，
，所以，
即乙、丙各自解出该题的概率为，.
（2）设“甲、乙、丙3人中恰有2人解出该题”为事件，
则，且事件、、两两互斥，
因为，，，，，相互独立，
所以
.
即甲、乙、丙3人中恰有2人解出该题的概率为.
19.【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题设知，且当点在椭圆的短轴端点处时的面积最大，所以，即，又，从而解得，，故椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，，由题意可设直线的方程为，
因为点在椭圆内，直线与总相交，
由 得，
设，，则，，
（i）由、、共线，得，①
由、、共线，得，②
则由①÷②得，③又，所以，④
将④代入③，得，所以.
（ii）点一定在以线段为直径的圆内，证明如下：
点在以线段为直径的圆内为钝角，⑤
因为，，所以，
由①、④，有，故，而，
从而，即⑤成立，所以点一定在以为直径的圆内.