数学必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系一课一练

这是一份数学必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系一课一练，共8页。
1．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是( )
A．(x＋2)2＝3 B.(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
解析：选A.因为x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3＝0，
所以(x＋2)2＝3.
2．一元二次方程x2＋2eq \r(2)x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝eq \r(2) B.x1＝0，x2＝－2eq \r(2)
C．x1＝eq \r(2)，x2＝－3eq \r(2) D．x1＝－eq \r(2)，x2＝3eq \r(2)
解析：选C.由求根公式得x＝eq \f(－2\r(2)±\r(8＋24),2)
＝eq \f(－2\r(2)±4\r(2),2)＝－eq \r(2)±2eq \r(2)，
所以x1＝eq \r(2)，x2＝－3eq \r(2).
3．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )
A．2 B.0
C．1 D．2或0
解析：选B.设方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0两根为x1，x2，
由题意知，x1＋x2＝0，
即－(a2－2a)＝0，解得a＝0或a＝2，
又因为x1x2＝a－1≤0，所以a≤1.
故选B.
4．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是( )
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
解析：选AB.当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝eq \f(5,4)，此时方程只有一个实数根，A正确；
当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；
当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－80，x＝eq \f(－（－5）±\r(49),2×3)＝eq \f(5±7,6)，x＝2或x＝－eq \f(1,3).
所以原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,3))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,3)))
7．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝________，q＝________．
解析：甲同学看错了p，但没有看错q，乙同学看错了q，但没有看错p，所以根据根与系数的关系，得q＝(－3)×1＝－3，p＝－(－2＋4)＝－2.
答案：－2 －3
8．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．
解析：因为关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，所以Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，所以m的最大整数值是4.
答案：4
9．求下列一元二次方程的解集：
(1)x2－x－6＝0；
(2)2x2＋3x＋1＝0；
(3)4x(2x－1)＝1－2x.
解：(1)法一：配方法：
因为x2－x－6＝0，所以x2－x＝6，
所以x2－2·eq \f(1,2)·x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝6＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up12(2)，
所以x－eq \f(1,2)＝±eq \f(5,2)，
所以x＝eq \f(1,2)±eq \f(5,2)，所以x＝－2或x＝3.
所以方程的解集为{－2，3}．
法二：公式法：
因为a＝1，b＝－1，c＝－6，
所以x＝eq \f(－（－1）±\r(（－1）2－4×1×（－6）),2×1)
⇒x＝－2或x＝3，
所以方程的解集为{－2，3}．
(2)法一：配方法：
2x2＋3x＋1＝0
⇒2x2＋3x＝－1
⇒x2＋eq \f(3,2)x＝－eq \f(1,2)
⇒x2＋2×eq \f(3,4)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)
⇒eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16)
⇒x＋eq \f(3,4)＝±eq \f(1,4)
⇒x＝－1或x＝－eq \f(1,2).
所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
法二：公式法：
由题可知a＝2，b＝3，c＝1，
所以x＝eq \f(－3±\r(32－4×2×1),2×2)
⇒x＝－1或x＝－eq \f(1,2)，
所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
法三：因式分解法：
(2x＋1)(x＋1)＝0⇒x＝－1或x＝－eq \f(1,2)，
所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
(3)移项，得4x(2x－1)＋(2x－1)＝0，
提取公因式，得(2x－1)(4x＋1)＝0，
所以2x－1＝0或4x＋1＝0，所以x1＝eq \f(1,2)，x2＝－eq \f(1,4)，
所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,4))).
10．求下列方程的解集：
(1)eq \r(3x＋4)＝x；
(2)6x2＋4＝2eq \r(5)x；
(3)eq \f(x－2,x)－eq \f(3x,x－2)－2＝0.
解：(1)方程两边平方，得3x＋4＝x2，
整理，得x2－3x－4＝0，即(x＋1)(x－4)＝0，
所以x1＝－1，x2＝4.
检验：当x＝4时，方程左边＝eq \r(3×4＋4)＝eq \r(16)＝4＝右边，
可知x＝4是方程eq \r(3x＋4)＝x的根；
当x＝－1时，方程左边＝eq \r(3×（－1）＋4)＝eq \r(1)＝1，右边＝－1，而右边不可能是负数，可知x＝－1是方程eq \r(3x＋4)＝x的增根，应舍去．
所以方程eq \r(3x＋4)＝x的解集是{4}．
(2)将方程整理，得6x2－2eq \r(5)x＋4＝0，即3x2－eq \r(5)x＋2＝0.
因为a＝3，b＝－eq \r(5)，c＝2，所以Δ＝(－eq \r(5))2－4×3×2＝－19－4，所以k0，
所以x＝7.
答案：7
14．已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．
解析：设x1，x2为方程的两个根，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(k＋1,2),x1x2＝\f(k＋3,2)))，
|x1－x2|＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋1,2)))eq \s\up12(2)－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.
检验当k＝9或k＝－3时，Δ＞0成立．
答案：－3或9
15．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是eq \f(29,4)，求m的值．
解：设方程的两根分别为x1，x2，由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(m,2)，,x1x2＝\f(－2m＋1,2).))
因为xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝eq \f(29,4)，所以(x1＋x2)2－2x1x2＝eq \f(29,4)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))eq \s\up12(2)－2×eq \f(－2m＋1,2)＝eq \f(29,4)，解得m1＝－11，m2＝3.
当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝b2－4ac＝112－4×2×23＝－630，方程有两个不相等的实数根．
综上可知，m的值为3.
[C 拓展探究]
16．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝eq \f(3,2)成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
(2)求使eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)－2的值为整数的实数k的整数值．
解：Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k(k≠0)，Δ≥0，k