辽宁省大连市普兰店区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份辽宁省大连市普兰店区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若方程（m﹣2）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥2C．m＝2D．m≠2
3．（3分）抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
4．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
5．（3分）如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转60°得△COD，若∠AOB＝21°，则∠AOD的度数是（ ）
A．18°B．28°C．39°D．49°
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝25°，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或x＞3C．﹣1≤x≤3D．x≤﹣1或x≥3
8．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，延长BC到E，，连接DE，使DE∥AB．若小吴测得DE的长为200米，则AB的长为（ ）
A．100米B．200米C．300米D．400米
9．（3分）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2
10．（3分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A．1+2x＝81B．1+x2＝81
C．1+x+x2＝81D．1+x+x（1+x）＝81
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程x2﹣x＝0的解为 ．
12．（3分）某商品原售价为81元，经连续两次涨价后售价为100元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是 ．
13．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+5与y轴的交点坐标是 ．
14．（3分）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB，若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则AD的长是 cm．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝4cm，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 秒后，△PCQ与△ABC相似．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）解方程：
（1）2x2﹣2＝3x；
（2）2（x+1）2＝x（x+1）．
17．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）直接写出（2）中线段AC在旋转过程中扫过的面积： ．
19．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，将△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．（1）旋转中心是 点，旋转角度是 度；
（2）若正方形边长为8.5，DE＝3.5，求EF的长．
20．（8分）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
21．（8分）如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED＝EP．
（1）求证ED是⊙O的切线；
（2）当OC＝6，OC＝3OP时，求线段DE的长．
22．（12分）问题背景：
如图，△ABC中，∠BAC＝135°，点E在BC上，EA＝EC．
动手操作：
将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，连接BD，延长EA交BD于点F．
（1）补全图形；
实践探究：
（2）判断线段EF，BD的位置关系，并证明你的结论；
综合应用：
（3）若BE＝3EC，求的值．
23．（13分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点C与点D关于原点成中心对称，点E是y轴右侧抛物线上一点，连接DE，CE，当S△CDE＝12时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上任取一点P（0，m），过P，A，B三点作新抛物线．
①当新抛物线顶点在线段DE上时，求m的值．
②当新抛物线与线段DE只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
2024-2025学年辽宁省大连市普兰店区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是关键．
2．【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2．
故选：D．
【点评】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常数）．
3．【分析】变形为顶点式y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，然后根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x＝1．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．【分析】根据韦达定理可得．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+3＝0 的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
5．【分析】根据旋转的性质得出∠BOD＝60°，即可推出结果．
【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转60°得△COD，
∴∠BOD＝60°，
又∵∠AOB＝21°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝60°﹣21°＝39°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
6．【分析】根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×25°＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．【分析】根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），再利用图象法求解即可．
【解答】解：根据题意得对称轴为直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的对称性，图象法解不等式，正确求出抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）是解题的关键．
8．【分析】根据已知易得：BC＝2CE，再利用平行线的性质可得∠BAC＝∠D，∠ABC＝∠E，从而可得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵CE＝BC，
∴BC＝2CE，
∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠D，∠ABC＝∠E，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝＝2，
∴＝2，
解得：AB＝400，
∴AB的长为400米，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
10．【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【解答】解：设平均一人传染了x人，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，
根据题意得：x+1+（x+1）x＝81，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程分解得：x（x﹣1）＝0，
所以x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【分析】利用该商家经过两次涨价后的售价＝该商品的原售价×（1+平均每次涨价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：81（1+x）2＝100．
故答案为：81（1+x）2＝100．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．【分析】代入x＝0，求出y值，进而可得出抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣（0+2）2+5＝1，
∴抛物线y＝﹣（x+2）2+5与y轴的交点坐标是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入x＝0求出y值是解题的关键．
14．【分析】根据垂径定理可得BD的长，根据勾股定理可得OD，再进一步可得答案．
【解答】解：∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，
∴，
∴，
∴AD＝OA﹣OD＝5﹣3＝2（cm）；
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形解决问题．
15．【分析】分两种情况分别计算，①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，得，②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，得，代入用x表示的线段计算即可．
【解答】解：①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，
∵△PCQ∽△ACB，
∴，
∴，
解得x＝；
②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，
∵△PCQ∽△BCA，
∴，
∴，
解得x＝，
∴经过秒或秒，△PCQ与△ABC相似．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为2x+1＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+1＝0或2x+2﹣x＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）方程化为一般式为2x2﹣3x﹣2＝0，
（2x+1）（x﹣2）＝0，
2x+1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝﹣，x2＝2；
（2）2（x+1）2＝x（x+1）．
2（x+1）2﹣x（x+1）＝0，
（x+1）（2x+2﹣x）＝0，
x+1＝0或2x+2﹣x＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．【分析】设每件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，根据每天盈利1200元，可列方程求解．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，
由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
即2x2﹣60x+400＝0，
∴x2﹣30x+200＝0，
∴（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解得：x＝10或x＝20
为了减少库存，所以x＝20．
故每件衬衫应降价20元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解．
18．【分析】（1）找到A、B、C关于原点O成中心对称的对应点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）找到A、B、C绕点O顺时针旋转90°得到的对应点A2、B2、C2，顺次连接即可；
（3）利用勾股定理求出OA2＝34，OC2＝10，再利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（3，1）；
（3）如图3，
根据旋转的性质可得△AOC的面积＝△A2OC2的面积，扇形OEF的面积＝扇形OCC2的面积，
∵OA2＝32+52＝34，OC2＝12+32＝10，
∴线段AC在旋转过程中扫过的面积＝扇形△OAA2的面积﹣扇形OEF的面积
＝扇形△OAA2的面积﹣扇形OCC2的面积
＝（34﹣10）
＝6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轨迹，解题的关键是掌握旋转变换与中心对称的性质．
19．【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答；
（2）根据旋转的性质得出BF＝DE＝2，进而得出CE＝CD﹣DE＝5，CF＝BC+BF＝12，最后根据勾股定理，即可解答．
【解答】解：（1）∵△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，四边形ABCD为正方形，
∴旋转中心是点A，旋转角度为∠BAD＝90°，
故答案为：A，90；
（2）∵△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，四边形ABCD为正方形，
∴BF＝DE＝2，∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝180°，即点F、B、C三点共线，
∵正方形边长8.5，
∴BC＝CE＝8.5，
∴CE＝CD﹣DE＝5，CF＝BC+BF＝12，
根据勾股定理可得：．
【点评】本题考查了旋转的相关定义，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角；旋转前后对应边相等，对应角相等；以及勾股定理．
20．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当x＝0时，
【解答】解：（1）∵9﹣6＝3（米），
∴抛物线的顶点坐标为（3，3），
设抛物线y＝a（x﹣3）2+3，把点A（9，0）代入得：
36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣×9+3＝＜2.44，
∴球能射进球门．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．
21．【分析】（1）首先连接OD，ED＝EP，易证得∠APD＝∠ADP，又由⊙O的半径OC与直径AB垂直，可证得OD⊥ED，即可判定ED是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD是圆的半径，
∴OD＝OC．
∴∠CDO＝∠DCO．
∵OC⊥AB，
∴∠COP＝90°，
在Rt△OPC中，∠CPO+∠PCO＝90°，
∵ED＝EP，
∴∠EDP＝∠EPD＝∠CPO，
∴∠EDO＝∠EDP+∠CDO＝∠CPO+∠DCO＝90°．
∴ED⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴ED是圆的切线；
（2）解：OD＝6，OC＝3OP，
∴OP＝2，
设DE的长为x，
∵OD2+ED2＝OE2，
∴36+x2＝（x+2）2，
∴x＝8，
答：线段DE的长为8．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
22．【分析】（1）根据题意即可补全图形；
（2）根据题意证明△ABC≌△ABD（SAS），利用角的等量代换即可解答；
（3）过B作BM∥AC交AE的延长线于点M，延长DA交BM于点H，证明△BHD≌△AHM（AAS），设AD＝AC＝a，BH＝AH＝b，列式求得a＝b，根据勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）EF⊥BD，证明如下：
如图，根据题意得∠CAD＝90°，AC＝AD，
∵∠BAC＝135°，且∠CAD+∠BAC+∠BAD＝360°，
∴∠BAD＝135°，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵AB＝AB，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴∠C＝∠D，
∵EA＝EC，
∴∠1＝∠C＝∠D，
∵∠2+∠1＝90°，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠AFD＝90，
∴EF⊥BD；
（3）如图，过B作BM∥AC交AE的延长线于点M，延长DA交BM于点H，
∵∠DAC＝90°，
∴∠HAC＝90°，
∵∠BAC＝135°，
∴∠BAH＝45°，
∵BM∥AC，
∴∠DAC＝∠AHM＝∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝45°，
∴∠ABH＝∠BAH，
∴AH＝BH，
∵∠DFA＝∠AHM＝90°且∠2＝∠HAM，
∴∠D＝∠M，
∴△BHD≌△AHM（AAS），
∴DH＝HM，
∵AC∥BM，
∴，
∵BE＝3EC，
∴BM＝3AC，
设AD＝AC＝a，BH＝AH＝b，
则a+a+b＝3a，
∴a＝b，
在Rt△BDH中，根据勾股定理得，
在Rt△ABH 中，根据勾股定理得，
∴．
【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键．
23．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△CDE＝12＝CD×EH，即可求解；
（3）①由待定系数法求出抛物线表达式，当x＝0时，y＝（x﹣1）2﹣＝﹣，即可求解；
②根据图象知，当m≥3或m＜﹣3时，新抛物线与线段DE只有一个公共点；求出新抛物线的表达式为：y＝﹣tx2+tx+t，联立上式和y＝﹣x﹣3并整理得：﹣2mx2+（4m+3）x+6m+18＝0，则Δ＝（4m+3）2+8m（6m+18）＝0，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点E作EH⊥y轴于点H，由抛物线的表达式知，点C（0，3），则点D（0，﹣3），
则CD＝6，
则S△CDE＝12＝CD×EH，
则EH＝4，
则点E（4，﹣5）；
（3）①令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，
则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，
由点D、E的坐标得，直线DE的表达式为：y＝﹣x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣，
则顶点的坐标为：（1，﹣）；
设新抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣，
把（3，0）代入上式得：0＝a（3﹣1）2﹣，
解得：a＝，
当x＝0时，y＝（x﹣1）2﹣＝﹣，
即m＝﹣；
②根据图象知，当m≥3或m＜﹣3时，新抛物线与线段DE只有一个公共点；
设新抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+k．
将点A、P的坐标代入抛物线表达式得：0＝a（﹣1﹣1）2+k、m＝a（0﹣1）2+k，
即a＝﹣m，k＝m，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣tx2+tx+t，
联立上式和y＝﹣x﹣3并整理得：﹣2mx2+（4m+3）x+6m+18＝0，
则Δ＝（4m+3）2+8m（6m+18）＝0，
解得：m＝（不合题意的值已舍去），
综上，m的取值范围为：m≥3或m＜﹣3或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7