辽宁省大连市高新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份辽宁省大连市高新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
3．在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
5．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
6．将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点D落在AB边上，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
8．参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则AD长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．无法计算
10．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知，则脚手架高DE为（ ）
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a＝______．
12．如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转90°，得，则点的对应点的坐标为______．
13．某地有一座圆弧形拱桥如图所示，桥下水面宽度，半径，则该圆弧形拱桥的高度CD为______m．
14．如图，，，，与关于点C成中心对称，则AB的长是______．
15．如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是、，点C在抛物线的图象上，则b的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题10分）（1）解方程：；
（2）已知二次函数的图象经过，，求二次函数的表达式．
17．（本小题8分）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
18．（本小题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）将以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的，并直接写出点A的对应点的坐标；
（2）将向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到，画出，并直接写出点A的对应点的坐标；
（3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______．
19．（本小题8分）如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若一辆货车高4m，宽3m，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？
20．（本小题8分）2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
21．（本小题8分）
如图，在中，，以AC为直径的交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是的切线；
（2）若，，求EC长．
22．（本小题12分）如图1，在中，，，点D在AC边上，点E在BC延长线上，且，连接DE，将绕点C逆时针旋转，连接BD，AE，直线BD与直线AE交于点F．
（1）如图2，求证：；
（2）在图2中，连接CF，求证：；
（3）若，，
①如图3，当点F与点D重合时，求的面积；
②如图4，当点F与点E重合时，直接写出的面积．
23．（本小题13分）在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”．
例如：点与点互为“等和点”．
（1）点与点互为“等和点”，求b的值；
（2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值；
（3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象点E在图象上，点F在图象上．
①若，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；
②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．【答案】D
【解析】解：由题知，
因为，所以或，
则，．
故选：D．
利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
3．【答案】A
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选：A．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
4．【答案】C
【解析】解：为所对的圆周角，为所对的圆心角，
．
故选：C．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．【答案】B
【解析】解：，，，
，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
分析：
把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6．【答案】B
【解析】解：将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是：，即．
故选：B．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．【答案】A
【解析】解：在中，，，，
将绕点C逆时针旋转得到，，
是等边三角形，
，．
故选：A．
根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，得到是等边三角形，求得，由此即可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：根据题意，得，
故选：C．
根据参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
9．【答案】C
【解析】解：设，
与它的内切圆分别相切于点D、E、F，
，，，
则，
周长为20，
，即：，
解得：，即．
故选：C．
设，根据切线长定理得出，，，则，由周长为20，代入求出a即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出，，，用了方程思想．
10．【答案】B
【解析】解：四边形DEFG是矩形，
，，
，抛物线关于y轴对称，
设点G的纵坐标为3a，则点G的横坐标为a，即点G的坐标为，
点G在抛物线上，，
解得：，（舍去），
点G的纵坐标为6，，．
故选：B．
根据及抛物线的对称性，判断出用未知数表示的点G的坐标，代入抛物线解析式可得未知数的值，进而可得DE的长．
本题考查二次函数的应用．根据题意判断出在二次函数图象上的点G的坐标是解决本题的易错点．
11．【答案】6
【解析】解：把代入方程，得，
解得．
故答案为：-2．
把代入方程得：，然后解关于a的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．【答案】
【解析】解：绕点O按顺时针方向旋转得到，，
点的坐标为．
故答案为：．
根据旋转的性质可得答案．
本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
13．【答案】4
【解析】解：，，，
在中利用勾股定理，得，
，．
故答案为：4．
根据垂径定理求出AD，在中利用勾股定理求出OD，从而求出CD．
本题考查垂径定理，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．
14．【答案】
【解析】解：与关于点C成中心对称，
，，，
在中，，
．
故答案为：．
利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．
此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．
15．【答案】
【解析】解：作轴，于M，于N，
四边形ABCD是正方形，，，
，，
，，
，，
设，点B、D的坐标分别是、，
则且，
解得：，，，
点C在抛物线的图象上，
，，
故答案为：．
作轴，于M，于N，利用三角形全等的即可得出C点坐标，进而求解．
此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键．
16．【答案】解：（1），，
，，，
所以，；
（2）根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为．
【解析】（1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）把两个已知点的坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c，从而得到二次函数解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了配方法解一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征．
17．【答案】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有个人被感染，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人；
（2）根据题意得：（人），
，
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800．
【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有个人被感染，根据“某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1＋每轮传染中平均一个人传染的人数），即可求出经过三轮传染后患流感的人数，再将其与800比较后，即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．【答案】（2，-1）
【解析】解：（1）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为（3，2）．
（2）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为（1，-4）．
（3）分别连接，，，相交于点P，
则绕点P旋转可以得到，
旋转中心的坐标为（2，-1）．
故答案为：（2，-1）．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（3）分别连接，，，相交于点P，则绕点P旋转可以得到，即可得出答案．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19．【答案】解：（1）由题意，设抛物线的方程为，
又点在抛物线上，可有，解得．
．
（2）由题意，由（1）令，则有．
或．
，
该货车可以通过．
【解析】（1）依据题意，设抛物线的方程为，又点在抛物线上，从而，求出a即可判断得解；
（2）依据题意，由（1）令，则有，可得或，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定抛物线解析式为解题关键．
20．【答案】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为20％．
（2）由题意，设每个售价为x元，
每天的利润．
当时，每天的最大利润为9000．
网店每个应降价元，即网店每个应降价10元．
答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．
【解析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为m，再由题意列出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可列出关于x的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
21．【答案】（1）证明：连接CD，OD，如图，
是的直径，，，
在中，E为BC的中点，
，，，
，，
，，
，
即，
为半径，，是的切线；
（2）解：，，
在中，，，，
设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得，
，，，
同理在中，设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得，即．
【解析】（1）连接CD，OD，结合圆周角定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得，从而可得，然后根据切线的判定定理分析证明；
（2）结合含的直角三角形性质及勾股定理分析计算求解．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识．正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．【答案】（1）证明：，，，，
，即，
，；
（2）证明：如图1，在BF上截取，连接CG．
由（1）得，，，
又，，
，，
，
即，
是等腰直角三角形，
根据勾股定理得，，
，
，，；
（3）解：①由（1）得，，，
，，，
，，，
，
根据勾股定理得，，
同理，，，
设，则．
由（1）得，，
在中，，，
解得，（舍去），
．
如图2，过C作于H．
，，，
；
②．
同理，，
，，．
．
设，则，，
在中，，
，（舍去）．
．
过C作于M，
．
，
，．
．
【解析】（1）证明，得出；
（2）在BF上截取，连接CG．证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出结论；
（3）①由等腰直角三角形的性质及勾股定理求出AD的长，如图2，过C作于H．由三角形面积可得出答案；
②设，则，得出，由勾股定理求出AE的长，由三角形面积可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．【答案】解：（1）点与点互为“等和点”，
，．
（2）点与点都在直线上，
，，
点C与点D互为“等和点”，
，解得：．
（3）①，故，
设点，
在中，令，得．
点E在图象上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，
设点，即，
且，，
点E与点F互为“等和点”，
，
整理得，解得：，（舍去）．
当时，，
故F坐标为．
②设，设，且，
，随a的增大而增大，故；
设，设，
关于b的二次函数图象的对称轴为直线，
，图象开口向上，
当时，在对称轴右侧，随着b的增大而增大，
当时，；当时，，
．
在图象上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”，
也就是对于任意一个E点，在图象上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”，
则有，解得：．
故m的范围为．
【解析】（1）根据“等和点”的定义建立方程即可求解；
（2）将点与点都代入中，根据“等和点”的定义建立方程即可求解；
（3）①由，故，设点，，根据点E与点F互为“等和点”，可得方程，解此方程即可求解；
②将“等和点”视作一种函数关系，设，设，根据，得到；设，设，进一步可得当时，在对称轴右侧，随着b的增大而增大，可确定的取值范围为，又因为对于任意一个E点，在图象上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”，可得不等式，解这个不等式即可得到答案．
本题是一道以函数为背景的新定义综合题，考查了二次函数、一次函数的图象性质，一元二次方程，准确理解新定义并结合函数性质分析是解题关键所在．