高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线达标测试

这是一份高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线达标测试，共28页。
【题型一】基础运算
【典例分析】
已知动点到的距离与点到直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；
（2）可知直线AB的方程为，设点，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值
（1）
由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以，则，
所以动点M的轨迹方程是
（2）
由已知可得直线的方程是即，
设，
由得，，
所以，则，
故
【变式训练】
已知直线l的斜率为k，且过点，抛物线，直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B．
(1)求k的取值范围；
(2)设直线l的倾斜角，当tan为何值时，A、B分别与坐标原点的连线互相垂直？
【答案】(1)且；(2)或.
【分析】（1）由题设直线l为且，联立抛物线结合，即可求k的范围；
（2）由（1）应用韦达定理求得、，再由及数量积的坐标表示列方程求值，根据倾斜角和斜率关系及反三角函数求.
(1)
由题设，直线l为且，联立抛物线整理得：，
所以，可得，
故k的取值范围为且.
(2)
由（1），，，则，
由题设，，可得，
所以，。；
【题型二】常规韦达定理
【典例分析】
已知椭圆C：+ ＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线的焦点相同，F1，F2为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线：交椭圆C于A，B两点，若，且，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由抛物线方程可得焦点为，即，当M为椭圆的短轴端点时，面积最大，即可得到，进而求得，即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，可得，由韦达定理可得，结合点到直线距离公式可得，则根据即可求解.
（1）
由抛物线的方程得其焦点为，则，
当点M为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则，
所以，故椭圆的方程为.
（2）
联立得，，
，则（*），
设，，则，，
因为且，代入（*）得，，
因为，
设点O到直线AB的距离为d，则，
所以，
所以，即.
【变式训练】
已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，求直线AB的方程.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由题意可得，，从而可求出，进而可得抛物线方程，
（2）设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，表示出AB的中点M的坐标，的长度，直线OA和OB的方程，表示出，由列方程求出，从而可求出直线AB的方程.
（1）
设圆的圆心坐标为，可得.
易知抛物线的焦点为，准线方程为，
由题意得，
解得（负值舍去），则抛物线C的方程为.
（2）
由（1）知，设直线AB的方程为，
与抛物线的方程联立，可得，
，，则，，，
则AB的中点M的坐标为，易知，故，
直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即，
令，可得，，
则，
即，解得，
所以直线AB的方程为，
即或.
【题型三】抛物线方程特征：“点代入”
【典例分析】
已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为4．
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值．
【答案】(1)(2)128
【分析】（1）根据焦半径公式求解得，进而可得答案；
（2）设点，，（），直线的斜率为，进而根据题意，结合弦长公式得，再根据基本不等式求解即可.
（1）解：因为点到抛物线的焦点的距离为4，所以，，解得．
所以抛物线C的方程为．
（2）解：设点，，（），直线的斜率为．
因为，所以直线的斜率为．因为，
所以，化简得，①
，则，得，②
，则，即，③
将②③代入①，得，．
．
因为，，所以，，
即，当且仅当时，等号成立．
故的最小值为128．
【变式训练】
1.如图，已知抛物线C：和圆：，过抛物线C上一点作两条直线与圆相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据抛物线定义可得求出参数，即可写出抛物线方程；
（2）根据已知有H(4,2)，，设、应用斜率的两点式求，进而求直线斜率.
（1）由题意，．∵点M到抛物线准线的距离为，
∴，则抛物线C的方程为．
（2）当的角平分线垂直于x轴时H(4,2)，．
设，，∴，即，
∴，∴．
2.已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点
(1)用p表示A，B之间的距离；
(2)证明：的大小是与p无关的定值，并求出这个值.
【答案】(1)(2)证明见解析，
【分析】（1）由题意可写出直线方程为：，联立直线与抛物线可得，由即可得答案；
（2）由，将、代入化简即可得出答案.
（1）过焦点，且倾斜角为的直线方程是.由，得.
设，，则，，
故.
（2）由（1）知：，，，，，，
所以，
在中，由余弦定理可知，
.即的大小是与p无关的定值，且.
3.已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.
(1)求p的值；
(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．
【答案】(1)2(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出圆心M到点F距离的最小值即可计算作答.
（2）由（1）求出点M的坐标，由已知可得直线MA，MB倾斜角互补，设出点A，B的坐标，探求点A，B的纵坐标关系即可计算作答，
(1)
设，有，而点，则，
因，因此，而圆M面积最小值为，即，则有，
所以p的值是2.
(2)
由（1）知，抛物线，则有，而，即有轴，
因过M作抛物线的两条弦MA，MB，有，则直线MA，MB倾斜角互补，即直线MA，MB斜率和为0，
设点，直线的斜率，直线的斜率，
因此有，整理得：，
所以直线的斜率是定值.
【题型四】抛物线中的直线过定点
【典例分析】
在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)曲线上存在一点，不经过点的直线与交于，两点，若直线，的斜率之和为，证明：直线过定点．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由直线与圆相切，两圆内切的条件可得圆心到点的距离与直线的距离相等，再由抛物线的定义和方程可得解.
（2）求得的坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，运用判别式大于和韦达定理，由两点的斜率公式，化简整理可得与的关系，再由直线过定点的求法，可得所求定点，即可得证.
（1）
圆的圆心为，半径为，
由题意可得，动圆的圆心到点的距离与到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为；
（2）
将代入抛物线可得（舍去），
所以，
因为直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立直线与抛物线，可得，
由题意可知，即，
又，，
因为直线与的斜率之和为，
所以，
化简可得，
此时，解得或，直线与抛物线有两个交点，
所以直线的方程为即，
可得直线恒过定点.
【变式训练】
已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）求出等边三角形的顶点坐标，代入抛物线方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程为，联立抛物线方程，求出两根之和，两根之积，进而求出线段的中点的坐标，同理得到线段的中点的坐标，从而求出直线的方程，求出直线过的定点坐标.
(1)
由对称性可知等边三角形的顶点在上，
代入得：，解得：，所以抛物线方程为：；
(2)由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，则直线方程为，
由联立得：，设，则，
故，同理得故直线MN方程为
整理得：，故直线MN过定点
【题型五】焦点四边形面积最值
【典例分析】
已知抛物线C：的焦点为F，点E（﹣1，0），圆与抛物线C交于A，B两点，直线BE与抛物线交点为D．
(1)求证：直线AD过焦点F；
(2)过F作直线MN⊥AD，交抛物线C于M，N两点，求四边形ANDM面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)32
【分析】（1）设，，，，写出直线的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，可得的坐标，进而得到直线的斜率，与直线的斜率比较，可得证明；
（2）可设直线的方程为，直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，，再由四边形的面积公式和基本不等式，可得所求最小值．
(1)
证明：设，直线BE的方程为，
与联立，可得y2+（x0+1）y+y0＝0，因为有一根﹣y0，可得﹣y0yD＝4，即有yD，
即D（，），又F（1，0），直线DF的斜率为，
直线AF的斜率为,所以直线AF的斜率和直线DF的斜率相等，
所以直线AD过焦点F；
(2)由题意可知A,B关于x轴对称，则D点与B不可能重合，故直线AD斜率一定存在，
可设直线的方程为，直线的方程为，
联立，可得，设，，，，则，
故，同理可得，所以四边形面积，
当且仅当时，取得等号，所以四边形面积的最小值为32．
【变式训练】
.已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；
（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段与长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.
（1）
由题设知，抛物线的准线方程为，
由点到焦点的距离等于圆的半径，
而可化为，即该圆的半径为，
所以，解得，
所以抛物线的标准方程为；
（2）
由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，
因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，恒成立．
设，，
则，，
所以，
同理，得，
所以四边形的面积
，（当且仅当时等号成立）
所以四边形的面积的最小值是．
【题型六】范围最值
【典例分析】
.已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在．
（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以，即，所以，
因为，所以；因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，因为，所以，
即，所以，所以
则所以，得，
所以②，代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
【变式训练】
已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．
【答案】(1)；(2)时最小；时最小.
【分析】（1）由题设易知，结合已知即可写出抛物线方程.
（2）设直线为，联立抛物线方程，应用韦达定理得到及关于参数k、b的表达式，再由中点公式求关于k、m的表达式，进而根据对勾函数性质求最值，注意分类讨论m.
（1）由题设，且，则，
所以抛物线C的方程.
（2）设直线为，联立抛物线可得，
所以，即，
，，则，故，
又，可得，
所以且，则，
由对勾函数的性质：
当，时，在上递增，则最小；
当，时，在上递减，在上递增，则最小；
综上，时最小；时最小.
【题型七】斜率计算1：等腰三角形与的等角
【典例分析】
动圆M与圆外切，且与直线相切．
(1)求动圆M圆心的轨迹的方程．
(2)已知斜率为－1的直线l交曲线于A，B两个不同的点，定点．求证：直线PA，PB与x轴总围成等腰三角形．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，M到C的距离等于点M到直线的距离，由抛物线的定义可解.
（2）要证结论，即证直线PA，PB的倾斜角互补，即证．由条件可设直线l的方程为，，．联立直线与抛物线的方程，由韦达定理代入即可得证明.
（1）
圆的标准方程为，即，半径．设圆M的半径为R，
则点M到点C的距离为，点M到直线的距离为R，所以点M到C的距离等于点M到直线的距离，
即点M的轨迹为抛物线，且抛物线方程为．
（2）
要证结论，即证直线PA，PB的倾斜角互补，即证．
由条件可设直线l的方程为，，．
由，得，则，，
所以，同理．
所以，所以命题得证．
【变式训练】
已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求C的方程：
(2)在x轴上是否存在点P，使得恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）易知，求出即可；
（2）设，，，由题可知直线l斜率不为零，
设，代入抛物线方程消去x，得，
由可得，利用斜率公式，根与系数的关系求解即可
（1）
当l与x轴垂直时，由题意易得，
从而，解得p＝1，
所以C的方程为；
（2）
设，，，由题可知直线l斜率不为零，
设，代入抛物线方程消去x，得，
从而，，①
由可得
将①代入上式，得恒成立，
所以，因此存在点P，且满足题意，P点坐标为．
【题型八】斜率计算2：原点直线斜率积
【典例分析】
已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为1，且，A，B是抛物线E上异于O的两点
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB恒过定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【分析】（1）由抛物线的定义（或焦半径公式）求得得抛物线方程；
（2）设，设方程为，代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，代入得出的关系，然后观察直线方程得定点坐标．
(1)
由题意，，
抛物线方程为；
(2)
设，易知，直线斜率存在，设方程为，
由得，，即，
，，
，
，，
所以直线方程为，过定点；
直线恒过定点.
【变式训练】
已知抛物线上纵坐标为3的一点P到焦点的距离为5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l经过点，且与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为，，求．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用抛物线的定义即求；
（2）由题可设 的方程为，联立抛物线的方程，由韦达定理及斜率公式即可求解.
(1)
抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可得点P到焦点的距离即为点P到准线的距离，
所以，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
(2)
由题意直线 l 的斜率存在，
设直线 l 的方程为，，，
代入抛物线方程化简得，
所以，
所以．
【题型九】斜率计算3：斜率和定值与定点直线
【典例分析】
已知抛物线，点在抛物线上.
(1)求抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将代入可得答案；
（2）设，直线，由三点共线、三点共线可得，，直线与抛物线联立，利用韦达定理代入可得答案.
（1）
将代入，解得，
的准线方程为.
（2）
设，直线，
联立，整理得，
由题意，，即或，
且，
因为三点共线，由，整理得，
同理得，
【变式训练】
在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A，B.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义即可求出p；
（2）根据斜率公式，韦达定理列方程求出直线方程即可.
(1)
抛物线D：的焦点，准线方程为，
因为抛物线上一点到焦点F的距离，
由抛物线的定义得，所以.
所以抛物线E的标准方程是；
(2)
将代入可得或（舍），所以点S坐标为，
由题意直线l的斜率不等于0，
设直线l的方程是，，，
联立，得，
由韦达定理得，
因为直线，的斜率之和为2，
所以，
所以，
将代入上式可得 ，
所以直线l的方程是，显然它过定点.
【题型十】斜率计算4：三斜率
【典例分析】
.如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.
(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；
(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）作出辅助线，利用抛物线定义及中位线得到AQ＝AB，从而得到倾斜角的余弦值及正切值，即直线l的斜率；（2）先求出p＝1，设出直线方程my＝x－，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，假设存在实数λ，得到等量关系，求出λ的值.
（1）
由已知可得DN为抛物线的准线．
设直线l的倾斜角为α.
如图所示，分别过点A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H为垂足．则BH＝BF，AG＝AF.
作BQ⊥AG，Q为垂足，则QG＝BH.
因为B为线段AC的中点，所以BH为△ACG的中位线．所以BH＝AG＝AQ，所以AQ＝AB.
所以cs α＝cs ∠QAB＝，所以tan α＝，所以直线l的斜率为.
（2）
存在，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：
因为正方形DFMN的边长为1，所以p＝1，因此抛物线的方程为：y2＝2x.可得.
设直线l的方程为my＝x－，A（x1，y1），B（x2，y2），.
联立，化为：y2－2my－1＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－1.
假设存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3，则，
左边＝，所以，
解得：λ＝2.因此存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝2k3.
【变式训练】
如图，已知点是拋物线的准线上的动点，拋物线上存在不同的两点满足的中点均在上.
(1)求拋物线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用准线，即可求出，故可求得抛物线方程；
（2）设中点为及直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，消去得，利用及可以求得，，将其代入，即可得到，同理设中点，直线的方程为：，依据上述方法能得到，由此可以得出，由即可求出的值.
(1)
∵抛物线的准线，
∴，即，抛物线的方程为.
(2)
方法①：设中点，
设直线的方程为，整理得
∵直线的斜率不为零，令，
∴直线的方程为：，
联立消得，
则，，
∵，即，，
∴，化简得，
同理设中点，直线的方程为：，
联立消得，
则，，
∵，即，，
∴，化简得，
则，是方程的两根，
即，
又∵
∴由得，，即，
故存在满足条件.
方法②：设，中点为，
则，消得，
同理设中点，
则，消得则，
则、是方程的两根，即，
由和得，
由得，
又∵，即，，即，
∴，
又∵，且，
∴，即，
故存在满足条件.
培优第一阶——基础过关练
1．已知抛物线C：与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.
2．已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点.
(1)求证：；
(2)求的面积S.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，结合韦达定理运算处理；
（2）根据点到直线距离公式结合弦长公式运算求解.
（1）
设
由，消得：
又，
，即
（2）
点到直线的距离

3．在平面直角坐标系中，点，过动点P作直线的垂线，垂足为M，且.记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于不同的两点、，若为线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的坐标形式表示P点坐标满足的等量关系并化简即可得到其轨迹方程；
（2）先根据直线与曲线E的公共点个数情况讨论直线的斜率，斜率不存在和斜率为0时均不满足；斜率存在且不为0时，再根据中点坐标关系解出斜率k，即可求得直线l的方程.
（1）
设，则．
因为，所以，
因为，所以，即.
所以曲线E的方程为.
（2）
若直线l的斜率不存在，则l与曲线E无公共点，因此l的斜率存在；
若l的斜率为0，则l与曲线E只有一个公共点，因此l的斜率不为0.
设，
由得，于是，解得且．
设，，则.
因为B为线段的中点，所以．
又，所以，
因此，所以，符合且，
于是，此时直线的方程为.
培优第二阶——能力提升练
1、已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)直线：与抛物线交于，两点，点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线过定点.
【分析】（1）利用代入法，结合抛物线定义进行求解即可；
（2）直线方程与抛物线方程联立，根据角相等的性质、斜率公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
（1）
因为点在抛物线上，且，
所以有，因此抛物线的标准方程为；
（2）
设，，
直线方程与抛物线方程联立，得，
因为，．
因为，所以，
所以．
则，即．
当时，，即；
当时，，符合题意，即．
综上，直线过定点．
【点睛】关键点睛：通过角相等得到两条直线的斜率关系是解题的关键.
2．如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，．
(1)求p和m的值；
(2)点M，N在C上，且．过点A作，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可.
（2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论.
（1）
由抛物线定义知：，则，
又在抛物线上，则，可得.
（2）
设，，由（1）知：，
所以，，又，
所以，
令直线，联立，整理得，且，
所以，，则，，
综上，，
当时，过定点；
当时，过定点，即共线，不合题意；
所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上，
而中点为，即为定值，得证.
3．已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在,.
【分析】（1）联立抛物线与直线，结合中点横坐标为8列方程求参数p，即可得抛物线方程.
（2）设直线，，，联立抛物线，假设存在以AB为直径的圆恒过，应用韦达定理及恒成立求参数m、n，即可得结果.
（1）
将代入，得；
∴，可得，所以抛物线C的方程为．
（2）
设直线，，．
联立，整理得，
所以，．
假设存在以AB为直径的圆恒过，
则恒成立，
化简得，
令，可得，
故以弦AB为直径的圆恒过．
培优第三阶——培优拔尖练
1.抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
(1)若的面积为，求的值及圆的方程
(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.
【答案】(1)，圆的方程为
(2)
【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利用两点间距离公式表达出.
（1）
由对称性可知：，
设，由焦半径可得：，
，
解得：
圆的方程为：
（2）
由题意得：直线的斜率一定存在，其中，
设关于直线的对称点为，
则，解得：，
联立与得：，
设，
则，
则，
则
，
解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，
所以
，
【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.
2．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）设出，由焦半径得到方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.
（1）
依题意，设．
由抛物线的定义得，解得：，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得：．
故抛物线的方程为．
（2）
由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．
设直线的方程为，，．
联立，整理得：，
则，从而．
因为是弦的中点，所以，
同理可得．
则
，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为8．
【点睛】圆锥曲线与直线相交问题，一般设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积，结合题目条件列出方程，或表达出弦长，常常结合基本不等式或二次函数等进行求解.
3．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；（3）在前两问基础上用斜率k表达出，换元后使用基本不等式求出最大值.
（1）
将点代入抛物线方程可得：，抛物线
（2）
设，与抛物线方程联立可得：
，∴，用代k可得：
因此，，即.
（3）
由（1）可知，，，
因此
到直线AB的距离.
∵
∴
，令，由得
∴
当且仅当时取等号.
的最大值为.
【点睛】求解抛物线取值范围问题，把要求解的问题转化为单元问题，常使用的工具有换元，基本不等式，或导函数.【提分秘籍】
基本规律
韦达定理基本题型思维：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
【提分秘籍】
基本规律
联立方程写出韦达定理后，要注意把题中的条件转化为韦达定理的形式，这个是解题的突破点。
【提分秘籍】
基本规律
充分利用抛物线方程的结构特征：x，y一个二次一个一次，所以可以“设二次不舍一次”，点代入计算化简
【提分秘籍】
基本规律
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
【提分秘籍】
基本规律
圆锥曲线中求面积常规类型
（1）
(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。
【提分秘籍】
基本规律
1.对于抛物线。过点（0，m）作直线交抛物线于A.,B两点则直线OA,OB的斜率之积为定值
2.对于抛物线。过点（m，0）作直线交抛物线于A.,B两点则直线OA,OB的斜率之积为定值