2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册

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第三章3.3.2　抛物线的简单几何性质基础落实·必备知识一遍过知识点1　抛物线的简单几何性质 x轴 y轴 y轴 原点(0,0) 左 上下名师点睛1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.微思考抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?提示 抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.知识点2　直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当Δ0),代入y2=8x得m2=24,规律方法　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.探究点二 直线与抛物线的位置关系问题4直线与圆锥曲线的位置关系是几何问题的重点.类比直线与双曲线位置关系的判断及相应的典型问题,如何判断直线与抛物线的位置关系?又会有哪些与之相关的几何问题?【例2】 已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.规律方法　1.解决中点弦问题的基本方法是点差法,运算量相对较小.但点差法求轨迹方程时用到了斜率,必须验证斜率不存在的情况.2.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.3.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.规律方法　AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,解决焦点弦问题要善于利用几何问题来优化运算.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:探究点四 与抛物线有关的定点、定值问题问题6定点、定值问题体现了几何问题变化过程中的不变性,必然是解析几何研究的重点内容.对于直线与抛物线来说,这些问题经常以哪些形式呈现?又如何解决?【例4】 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.(1)解 ∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.∴曲线C的方程为y2=4x.(2)证明 设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.规律方法　定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即定值.(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法:①通过含有一个参数的直线方程来判断;②先通过特殊情况探求定点,再证明一般情况下此点在直线上;③转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.本节要点归纳1.知识清单:(1)抛物线的几何性质及应用;(2)直线和抛物线的位置关系;(3)抛物线中点弦问题,轨迹问题.2.方法归纳:直接法、定义法、待定系数法.3.常见误区:(1)求抛物线方程时焦点的位置易判断失误;(2)数学运算的失误.学以致用·随堂检测促达标123451.(例1对点题)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.12345123452.(例2对点题)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　)B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]C解析 由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k