2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质分层作业课件新人教A版选择性必修第一册

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第三章3.3.2　抛物线的简单几何性质123456789101112131.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)A.2 B.1 C.4 D.8C解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- ,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+ =8,所以p=4,所以焦点F到抛物线准线的距离等于4.123456789101112132.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有(　　)A.4条 B.3条 C.2条 D.1条B若k≠0,则令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k= ,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点.当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个公共点.综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有3条.12345678910111213123456789101112133.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致为(　　)D12345678910111213(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.123456789101112134.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4 ,则抛物线方程为(　　)A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2= xB12345678910111213123456789101112135.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)A12345678910111213则直线3x+4y+12=0与抛物线相离.又d1+d2=d1+1+d2-1,而d1+1为点P到准线x=-1的距离,故d1+1等于点P到焦点F(1,0)的距离,从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离,即123456789101112136.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=　　　. 212345678910111213123456789101112137.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是　　　　　. 123456789101112138.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;1234567891011121312345678910111213123456789101112139.已知抛物线C:x2=4y的焦点为B,C的准线与y轴交于点A,P是C上的动点,则 的最大值为(　　)B123456789101112131234567891011121310.(多选题)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,l为抛物线的准线,A,B为抛物线上任意两点,M(1,-3),O为坐标原点,则下列说法正确的有(　　)A.过点M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B.|AM|与点A到直线l的距离之和的最小值为3C.若直线AB过点F,则抛物线C在A,B两点处的切线互相垂直D.若直线OA与OB的斜率之积为- ,则直线AB过点FBC12345678910111213解析 抛物线C的焦点F(1,0),准线l:x=-1.对于A,当过点M的直线斜率不为0时,设切线方程为x=m(y+3)+1,由Δ=16m2+4(12m+4)=16(m2+3m+1)=0,解得 ,即有两条切线,当过点M的直线斜率为0时,直线方程为y=-3,直线y=-3与抛物线y2=4x有一个交点,因此过点M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有三条,故A错误;对于B,过点A作AN⊥l于点N,如图,则|AN|=|AF|, |AM|+|AN|=|AM|+|AF|≥|MF|=3,当且仅当A为线段MF与抛物线C的交点时,等号成立,故B正确;12345678910111213对于C,直线AB的方程为x=ty+1,代入抛物线C的方程得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,x1x2= =1,1234567891011121311.已知A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)B12345678910111213解析 由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),如图所示.过点P作PQ⊥l于点Q,设∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴ .结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin θ最小,从而m最大.设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),由 得x2-4kx+4=0,由Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).123456789101112131234567891011121312.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程.(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.12345678910111213解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.12345678910111213(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,则可设lCD:y=- x+n,与抛物线方程y2=8x联立,消去y,得 x2-(n+8)x+n2=0,其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,则n>-4. (*)又因为xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=- ,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.1234567891011121313.已知抛物线C:y2=2px(0